已知椭圆x*2/a*2+y*2/b*2=1(a>b>0)上的一点P(x,y),求3x+4y的 取值范围x*2表示x的平方/表示除以
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/26 15:12:37
已知椭圆x*2/a*2+y*2/b*2=1(a>b>0)上的一点P(x,y),求3x+4y的 取值范围x*2表示x的平方/表示除以
已知椭圆x*2/a*2+y*2/b*2=1(a>b>0)上的一点P(x,y),求3x+4y的 取值范围
x*2表示x的平方
/表示除以
已知椭圆x*2/a*2+y*2/b*2=1(a>b>0)上的一点P(x,y),求3x+4y的 取值范围x*2表示x的平方/表示除以
你可以尝试运用三角代换
X=a*sin(c) Y=b*cos(c)
3X+4Y=3a*sin(c)+4b*cos(c)
=sqr(9a^2+16b^2)*sin(x+d) 辅助角公式
所以3X+4Y属于(-sqr(9a^2+16b^2),sqr(9a^2+16b^2))
sqr为开根
设x=asinα y=bcosα
3x+4y=3asinα+4bcosα
=根号（9a^2+16b^2）sin（α+β）（α为任意值，β为定值）
∈（（-根号（9a^2+16b^2）），（根号（9a^2+16b^2）））
因为没有具体的值，用参数带入算计算量比较大，不太好输入到电脑里，我给一条思路吧：
1.可令z=3x+4y, 则可得y=-3x/4+z/4，由于a>b>0，所以可知焦点在x轴上
2.做椭圆草图，在草图上做两条斜率k=-3/4的直线分别在第一、三象限与椭圆相切，两直线与y轴各自相交于A、B两点，这两点关于原点对称。设A在x轴上方，B在x轴下方。
3.将直线方程带入椭圆方程，可得...
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因为没有具体的值，用参数带入算计算量比较大，不太好输入到电脑里，我给一条思路吧：
1.可令z=3x+4y, 则可得y=-3x/4+z/4，由于a>b>0，所以可知焦点在x轴上
2.做椭圆草图，在草图上做两条斜率k=-3/4的直线分别在第一、三象限与椭圆相切，两直线与y轴各自相交于A、B两点，这两点关于原点对称。设A在x轴上方，B在x轴下方。
3.将直线方程带入椭圆方程，可得用参数表示的A、B两点纵坐标。
4.由直线方程可知，A点纵坐标为z/4。B点纵坐标为-z/4，将用参数表示的坐标与用z表示的坐标联立，则可用参数表示出z。
5.因为z=3x+4y，所以z的范围就是3x+4y的范围。
注：这种数形结合法在求一个整式范围时经常用到。
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