已知a,b,c,d为实数,a+b=1,c+d=1且ac+bd>1,求证:a,b,c,d中至少有一个负数

已知a,b,c,d为实数,a+b=1,c+d=1且ac+bd>1,求证:a,b,c,d中至少有一个负数
已知a,b,c,d为实数,a+b=1,c+d=1且ac+bd>1,求证:a,b,c,d中至少有一个负数

已知a,b,c,d为实数,a+b=1,c+d=1且ac+bd>1,求证:a,b,c,d中至少有一个负数
假设abcd没有一个负数
又因为a+b=1.c+d=1
所以abcd都大于等于0小于等于1
则a=1-b,c=1-d
ac+bd=(1-b)(1-d)+bd=1-b-d+2bd>1
b(d-1)+d(b-1)>0
因为0≤d≤1,0≤b≤1
所以-1≤d-1≤0,-1≤b-1≤0
而b≥0,d≥0
所以b(d-1)≤0,d(b-1)≤0
他们相加=0
所以只有b(d-1)=d(b-1)=0
若b=0,则由d(b-1)=0得到d=0
则由a+b=1.c+d=1
a=c=1
但这和ac+bd>1矛盾
所以a,b,c,d中至少有一个负数

因为a+b=1,C+d=1
所以(a+b)(C+d)=1
展开ac+ad+bc+bd=1
得到ac+bd=1-bc-ad
因为ac+bd>1
所以1-bc-ad>1
所以bc+ad<0;
所以得证

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd=1
又ac+bd>1
所以ac+bc<0
所以ad,bc中至少一个小于零即abcd中至少一个负数，证毕

反证法：
假设a,b,c,d全大于0
由a+b=1,由0同理由0那么a^2<=a,b^2<=b,c^2<=c,d^2<=d
从而a+b=1>=a^2+b^2
c+d=1>=c^2+d^2
把上两式相加有
2>=(a^2+c^2)+(b^2+d^2)>=2ac+2bd(基本不等...

全部展开

反证法：
假设a,b,c,d全大于0
由a+b=1,由0同理由0那么a^2<=a,b^2<=b,c^2<=c,d^2<=d
从而a+b=1>=a^2+b^2
c+d=1>=c^2+d^2
把上两式相加有
2>=(a^2+c^2)+(b^2+d^2)>=2ac+2bd(基本不等式)
即 ac+bd<=1但这与已知ac+bd>1矛盾
故原假设不成立
因此有a,b,c,d中至少有一个负数。

收起

证法一：假设a、b、c、d都是非负数
由a+b＝c+d＝1知a、b、c、d∈〔0，1〕
从而 ac≤ 根号 下ac≤ (a+b)/2
bd≤根号下bd ≤ (b+d)/2
∴ ac+bd≤ （a+b+c+D)/2 ≤1
与已知ac+bd>1矛盾
∴ a、b、c、d至少有一个是负数.
证法二：假设a、b、c、d都是非负数...

全部展开

证法一：假设a、b、c、d都是非负数
由a+b＝c+d＝1知a、b、c、d∈〔0，1〕
从而 ac≤ 根号 下ac≤ (a+b)/2
bd≤根号下bd ≤ (b+d)/2
∴ ac+bd≤ （a+b+c+D)/2 ≤1
与已知ac+bd>1矛盾
∴ a、b、c、d至少有一个是负数.
证法二：假设a、b、c、d都是非负数，则
1＝(a+b)(c+d)＝(ac+bd)+(ab+bc)≥ac+bd
这与已知 ac+bd>1矛盾
∴ a、b、c、d中至少有一个负数

收起

假设a、b、c、d都>0,
则a<1,b<1,c<1,d<1,
则ac由题意可知：
ac+bd所以，a、b、c、d中至少有一个负数。
（反证法）