已知等差数列{an}的首项a1＞0,公差d＞0,前n项和为Sn,设m,n,p∈N*,且m+n=2p （1）求证：Sn+Sm≥2Sp；（2）求证：Sn•Sm≤（Sp）2； （3）若S1005=1,求证：∑1/Sn≥ 2009 ∑上方为2009 下方为n=1
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/03 11:40:03
已知等差数列{an}的首项a1＞0,公差d＞0,前n项和为Sn,设m,n,p∈N*,且m+n=2p （1）求证：Sn+Sm≥2Sp；（2）求证：Sn•Sm≤（Sp）2； （3）若S1005=1,求证：∑1/Sn≥ 2009 ∑上方为2009 下方为n=1
已知等差数列{an}的首项a1＞0,公差d＞0,前n项和为Sn,设m,n,p∈N*,且m+n=2p （1）求证：Sn+Sm≥2Sp；
（2）求证：Sn•Sm≤（Sp）2；
（3）若S1005=1,求证：∑1/Sn≥ 2009 ∑上方为2009 下方为n=1
已知等差数列{an}的首项a1＞0,公差d＞0,前n项和为Sn,设m,n,p∈N*,且m+n=2p （1）求证：Sn+Sm≥2Sp；（2）求证：Sn•Sm≤（Sp）2； （3）若S1005=1,求证：∑1/Sn≥ 2009 ∑上方为2009 下方为n=1
（1）由等差数列前n项和公式可得Sn=d2
n2+(a1-d
2
)n,代入Sn+Sm,利用m+n=2p可证
（2）由等差数列前n项和公式可得Sn=d
2
n2+(a1-d
2
)n,代入SnSm,利用m+n=2p可证
（3）由（2）可得Sp
Sm
≥Sn
Sp
,从而有2009
n=1
1
Sn
=S1005
S1
+S1005
S2
+S1005
S2009
=S2009
S1005
+S2008
S1005
+S1
S1005
,再利用（1）的结论可证．证明：（1）由等差数列前n项和公式可得Sn=d 2 n2+(a1-d 2 )n,∴Sn+Sm=d 2 n2+(a1-d 2 )n+ d 2 m2+(a1-d 2 )m=d 2 (n2+m2)+( m+n)a1-d 2 (m+n)≥2Sp
（2）SnSm=[d 2 n2+(a1-d 2 )n][d 2 m2+(a1-d 2 )m]≤d2 4 p2+d 2 (a1-d 2 )p3+(a1-d 2 )2p2,∴SnSm≤（Sp）2
(3)2009 n=1 1 Sn =S1005 S1 +S1005 S2 +S1005 S2009 =S2009 S1005 +S2008 S1005 +S1 S1005 ≥2009
点评：本题主要考查等差数列的前n项和公式及不等式的基本性质,考查等价转化思想,属于中档题．
http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/e2227bb2-ce74-468f-9998-9553dafe9750