设椭圆x²/a²+y²/b²＝1(a＞b＞0)的离心率e=1/2,右焦点F(c,0),方程ax²+bx-c=0的两个实根分别为x₁、x₂,请证明P(x₁,x₂)必在圆x²+y²=2内.

设椭圆x²/a²+y²/b²＝1(a＞b＞0)的离心率e=1/2,右焦点F(c,0),方程ax²+bx-c=0的两个实根分别为x₁、x₂,请证明P(x₁,x₂)必在圆x²+y²=2内.
设椭圆x²/a²+y²/b²＝1(a＞b＞0)的离心率e=1/2,右焦点F(c,0),方程ax²+bx-c=0的两个实根分别为x₁、x₂,请证明P(x₁,x₂)必在圆x²+y²=2内.

设椭圆x²/a²+y²/b²＝1(a＞b＞0)的离心率e=1/2,右焦点F(c,0),方程ax²+bx-c=0的两个实根分别为x₁、x₂,请证明P(x₁,x₂)必在圆x²+y²=2内.
解析：
由题意可得：a=2c,b=√3*c,其中c>0
则方程ax²+bx-c=0可写为：
2cx²+√3*cx-c=0
即2x²+√3*x-1=0
已知方程的两个实根分别是：x₁、x₂
则由韦达定理可得：
x₁+x₂=-(√3)/2,x₁*x₂=-1/2
所以：x₁²+x₂²
=(x₁+x₂)²-2x₁*x₂
=3/4 +1
=7/4

1213213