已知圆C:x^2+y^2-2x+4y-4=0 直线L1过点P（2,0）,被圆C截得的弦长为4√2,求直线L1的方程

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/20 05:17:57

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已知圆C:x^2+y^2-2x+4y-4=0 直线L1过点P（2,0）,被圆C截得的弦长为4√2,求直线L1的方程
已知圆C:x^2+y^2-2x+4y-4=0 直线L1过点P（2,0）,被圆C截得的弦长为4√2,求直线L1的方程

已知圆C:x^2+y^2-2x+4y-4=0 直线L1过点P（2,0）,被圆C截得的弦长为4√2,求直线L1的方程
改写⊙C的方程,得：（x－1）^2＋（y＋2）^2＝9.
∴⊙C的半径为3、圆心C的坐标为（1,－2）.
∵L1被⊙C截得的弦长为4√2,而⊙C的半径为3,∴L1不过⊙C的圆心.
（1）若L1不存在斜率,则：
令（x－1）^2＋（y＋2）^2＝9中的x＝2,得：1＋（y＋2）^2＝9,∴（y＋2）^2＝8,
∴y＋2＝2√2,或y＋2＝－2√2,∴y＝－2＋2√2,或y＝－2－2√2.
∴直线x＝2与⊙C的交点坐标分别是A（2,－2－2√2）、B（2,－2＋2√2）.
显然,｜AB｜＝（－2＋2√2）－（－2－2√2）＝4√2.
∴L1的一条方程是：x＝2.
（2）若L1存在斜率,则：
令L1的斜率为k,则L1的方程是：y＝k（x－2）,即kx－y－2k＝0.
很明显,点C到x＝2的距离＝1,∴点C到kx－y－2k＝0的距离也是1,
∴｜k＋2－2k｜/√（k^2＋1）＝1,∴｜2－k｜＝√（k^2＋1）,∴（2－k）^2＝k^2＋1,
∴4－4k＋k^2＝k^2＋1,∴4k＝3,∴k＝3/4.
∴满足条件的L1的另一条方程是：y＝（3/4）（x－2）,即：3x－4y－6＝0.
综合（1）、（2）可知,满足条件的L1的方程有两条,分别是：①x＝2；②3x－4y－6＝0.

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