设F1,F2为椭圆x^2+y^2/2=1的两个焦点,AB是过焦点F1的一条动弦,求△ABF2的面积最大值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 03:23:07
设F1,F2为椭圆x^2+y^2/2=1的两个焦点,AB是过焦点F1的一条动弦,求△ABF2的面积最大值.
设F1,F2为椭圆x^2+y^2/2=1的两个焦点,AB是过焦点F1的一条动弦,求△ABF2的面积最大值.
设F1,F2为椭圆x^2+y^2/2=1的两个焦点,AB是过焦点F1的一条动弦,求△ABF2的面积最大值.
x^2+y^2/2=1
a^2=2,b^2=1,焦点在y轴
c^2=a^2-b^2=1,c=1
|F1F2|=2c=2
设A(x1,y1),B(x2,y2)
设AB直线方程：y=kx±1
则：x^2+(kx±1)^2/2=1
(2+k^2)x^2±2kx-1=0
x1+x2=±2k/(2+k^2)
△ABF2的面积=△AF1F2的面积+△BF1F2的面积
=|F1F2|*|x1+x2|*1/2
=2*|2k/(2+k^2)|*1/2
=|2k/(2+k^2)|
≤|2k/2√2k|
=√2/2
其中k^2=k,k=±2时,等号成立
△ABF2的面积最大值=√2/2
a^2=2.b^2=1 ，|F1F2|=2c=2 .焦点在y轴上
设AB直线方程为y+1=kx（本题中显然k存在）
联立椭圆的方程消y得：(2+k^2)x^2±2kx-1=0
x1+x2=±2k/(2+k^2)，x1*x2=（-1）/(2+k^2)
两根积为负，故两根一正一负
| x1|+|x2|=|x1-x2|...
全部展开
a^2=2.b^2=1 ，|F1F2|=2c=2 .焦点在y轴上
设AB直线方程为y+1=kx（本题中显然k存在）
联立椭圆的方程消y得：(2+k^2)x^2±2kx-1=0
x1+x2=±2k/(2+k^2)，x1*x2=（-1）/(2+k^2)
两根积为负，故两根一正一负
| x1|+|x2|=|x1-x2|=sqrt（(8k^2+8 )/(2+k^2) ^2）=sqrt（2-2k^4/(k^2+2)^2）
分子大于等于零，分母大于零，故k取0时， | x1|+|x2|有最大值sqrt2
此时S△ABF2=0.5*|F1F2|*|x1-x2|=sqrt2
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