设x1与x2分别是实系数方程ax+bx+c=0和-ax+bx+c=0的一个根,且x1≠x2,x1≠0,x2≠0,求证:(a/2)x^2+bx+c=0仅仅有一根介于x1和x2之间

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 09:41:54
设x1与x2分别是实系数方程ax+bx+c=0和-ax+bx+c=0的一个根,且x1≠x2,x1≠0,x2≠0,求证:(a/2)x^2+bx+c=0仅仅有一根介于x1和x2之间设x1与x2分别是实系数

设x1与x2分别是实系数方程ax+bx+c=0和-ax+bx+c=0的一个根,且x1≠x2,x1≠0,x2≠0,求证:(a/2)x^2+bx+c=0仅仅有一根介于x1和x2之间
设x1与x2分别是实系数方程ax+bx+c=0和-ax+bx+c=0的一个根,且x1≠x2,x1≠0,x2≠0,
求证:(a/2)x^2+bx+c=0仅仅有一根介于x1和x2之间

设x1与x2分别是实系数方程ax+bx+c=0和-ax+bx+c=0的一个根,且x1≠x2,x1≠0,x2≠0,求证:(a/2)x^2+bx+c=0仅仅有一根介于x1和x2之间
证明:分别把x1,x2带入方程得:ax1+bx1+c=0,-ax2+bx2+c=0即bx1+c=-ax1 ,bx2+c=ax2所以f(x1)f(x2)=((a/2)x1+bx1+c)·((a/2)x2+bx2+c)=((a/2)x1- a x1)·((a/2)x1+ax2)=(-3a/4)·(x1 x2)因为a≠0,x1,x2≠0即(-3a/4)(x1 x2)<0即f(x1)f(x2) <0函数f(x)在两点x1,x2有:f(x1)f(x2)<0所以得出:f(x1) <0且f(x2)>0 或f(x1) >0且f(x2) <0可以得出函数f(x)在x1和x2之间,至少有一点交于X轴.即可得出Δ=b-2ac≥0所以方程(a/2)x+bx+c=0必有一根介于x1和x2之间