已知a,b为正实数,且a +b=1,求证(a+1/2)^2+(b+1/2)^2小于等于2

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/15 20:53:21
已知a,b为正实数,且a+b=1,求证(a+1/2)^2+(b+1/2)^2小于等于2已知a,b为正实数,且a+b=1,求证(a+1/2)^2+(b+1/2)^2小于等于2已知a,b为正实数,且a+b

已知a,b为正实数,且a +b=1,求证(a+1/2)^2+(b+1/2)^2小于等于2
已知a,b为正实数,且a +b=1,求证(a+1/2)^2+(b+1/2)^2小于等于2

已知a,b为正实数,且a +b=1,求证(a+1/2)^2+(b+1/2)^2小于等于2
(√(a+1/2)+√(b+1/2))的平方=a+b+1+2√(a+1/2)*(b+1/2)
=2+2√(ab+1/2(a+b)+1/4),
由于a+b=1,所以ab

左边=a²+b²+a+b+1/2
=(a+b)²-2ab+1+1/2
=5/2-2ab
因为1=a+b≥2√(ab)
所以√ab≤1/2
ab≤1/4
所以-2ab≥-1/2
5/2-2ab≥2
所以(a+1/2)²+(b+1/2)²≥2