一道数学几何题、、有答案 但看不懂过程、三角形的三角形ABC为等边三角形,D、E、F分别为各边中点,P、Q、R分别在CQ、AR、BP上,如图所示若（三角形ABC面积）/（三角形PQR面积）=a+b√c 其中a、b
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 22:50:30
一道数学几何题、、有答案 但看不懂过程、三角形的三角形ABC为等边三角形,D、E、F分别为各边中点,P、Q、R分别在CQ、AR、BP上,如图所示若（三角形ABC面积）/（三角形PQR面积）=a+b√c 其中a、b
一道数学几何题、、有答案 但看不懂过程、三角形的
三角形ABC为等边三角形,D、E、F分别为各边中点,P、Q、R分别在CQ、AR、BP上,如图所示若（三角形ABC面积）/（三角形PQR面积）=a+b√c 其中a、b、c为整数,c不能被任何素数的平方整除,求a*a+b*b+c*c=?
易知（三角形ABC面积）/（三角形PQR面积）=7+3√5 所以答案为73
一道数学几何题、、有答案 但看不懂过程、三角形的三角形ABC为等边三角形,D、E、F分别为各边中点,P、Q、R分别在CQ、AR、BP上,如图所示若（三角形ABC面积）/（三角形PQR面积）=a+b√c 其中a、b
由对称性（这个对称性不是很显然,不懂问我吧）,EQ=FR=DP,∠CAQ=∠ABR=∠BCP．所以∠FRQ=∠CAQ=∠FBR,又∠RFQ=∠BFR=60°,所以△RFQ∽△BFR,所以FQ/FR=FR/BF=>FR²=FQ*BF．设EF=1,EQ=x,则FQ=1-x,FR=EQ=x,所以x²=(1-x)·1,解得x=(√5-1)/2,所以（由余弦定理）QR²=7-3√5,所以S△ABC/S△PQR=AB²/QR²=2²/(7-3√5)=7+3√5．
设EQ=a，QF=b,则 根据△EQP∽△CDP，△FRQ∽△AEQ，AE=CD=BF=a+b，易知 EP=(a+b)•[a/(2a+b)]，PD=(a+b)•[(a+b)/(2a+b)] FR=(a+b)•(b/a)，RD=(a+b)•[(a-b)/a] 再根据△PDR∽△BFR，易知 PD/FB=RD/FD => a²=(a+b)b，即Q点为EF的黄金分割点 同理，易知P、Q、R都是对应边的黄金分割点 所以EQ/EF=(√5-1)/2，当EQ=√5-1时，EF=2，AB=BC=CA=4 S△ABC=4√3，S△PQR=S△ABC-3S△PBC=(4√3)-[3√3(√5-1)] 所以S△ABC/S△PQR=(4√3)/[√3(7-3√5)]=4/(7-3√5)=7+3√5 说明：“黄金分割点”是数学理论中重要的一个概念，它可以由 这样的一种情况得到：线段AB之间有一点C，它将AB分为 大小不一的两段，和AB一起共有长、中、短三段，当“中²=长• 短”时，这样的分点就是“黄金分割点”，分别位于中点两侧。