已知函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e为偶函数,它的图象过点A(0,-1),且在x=1处的切线方程为2x+y-2=0,求函数y=f(x)的表达式.∵f(x)是偶函数,f(－x)＝f(x),∴b＝d＝0,f(x)＝ax4＋cx2＋e,又∵ 图象过点A(0,－1),∴e＝－1,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/06 04:05:33
已知函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e为偶函数,它的图象过点A(0,-1),且在x=1处的切线方程为2x+y-2=0,求函数y=f(x)的表达式.∵f(x)是偶函数,f(－x)＝f(x),∴b＝d＝0,f(x)＝ax4＋cx2＋e,又∵ 图象过点A(0,－1),∴e＝－1,
已知函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e为偶函数,它的图象过点A(0,-1),且在x=1处的切线方程为2x+y-2=0,求函数y=f(x)的表达式.
∵f(x)是偶函数,f(－x)＝f(x),∴b＝d＝0,f(x)＝ax4＋cx2＋e,
又∵ 图象过点A(0,－1),
∴e＝－1,∴f(x)＝ax4＋cx2－1,f'(x)＝4ax3＋2cx,
当x＝1时,f'(1)＝4a＋2c＝－2.①
对于2x＋y－2＝0,当x＝1时,y＝0.
∴点(1,0)在f(x)图象上,a＋c－1＝0.②
由①,②解出a＝－2,c＝3,因此f(x)＝－2x4＋3x2－1.
#我想问的是,为什么是偶函数b=d=0?
已知函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e为偶函数,它的图象过点A(0,-1),且在x=1处的切线方程为2x+y-2=0,求函数y=f(x)的表达式.∵f(x)是偶函数,f(－x)＝f(x),∴b＝d＝0,f(x)＝ax4＋cx2＋e,又∵ 图象过点A(0,－1),∴e＝－1,
f(-x)＝f(x)
ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e
则2bx3+2dx=0
这个式子的对x∈R都成立
所以只有2b=0,2d=0
因为是偶函数所以b=d=0,
把(0,1)代入方程所以e=1.
方程变为f(x)=ax4+cx2＋1求导 f'(x)=4ax3+2cx
所以f'(1)=4a+2c=1,
x=1时y=x-2＝-1,把点(1,-1)(是切线与此偶函数的交点）,代入方程a+c+1=-1
连立
4a+2c=1
a+c+1=-1
解得a=2.5,c=-4.5
所以f(x)=2.5x4-4.5x2+1
呸呸呸
因为是偶函数，所以那个函数图像应该是以Y轴对称。所以b=d=0