已知二次函数f(x)=x^2-x+k,k∈Z,若函数g(x)=f(x)-2在(-1,3/2)上有两个不同的零点,则[f(x)]^2+2/f(x)的最小值为.t
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 16:06:50
已知二次函数f(x)=x^2-x+k,k∈Z,若函数g(x)=f(x)-2在(-1,3/2)上有两个不同的零点,则[f(x)]^2+2/f(x)的最小值为.t
已知二次函数f(x)=x^2-x+k,k∈Z,若函数g(x)=f(x)-2在(-1,3/2)上有两个不同的零点,则[f(x)]^2+2/f(x)的最小值为.
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已知二次函数f(x)=x^2-x+k,k∈Z,若函数g(x)=f(x)-2在(-1,3/2)上有两个不同的零点,则[f(x)]^2+2/f(x)的最小值为.t
g(x)=x^2-x+k-2,对称轴x=1/2.
由g(x)在(-1,3/2)上有两个不同的零点,得：
g(-1)>0,g(3/2)>0,△>0.
9 /4≥k≥5/4,k∈Z.所以k=2
f（x）=x^2-x+2,f(x)≥7/4
[f(x)]^2+2/f(x）=f(x)+2/f(x)≥2根号2,且当f(x)=2/f(x)取等,则f(x)=根号2
首先，（5/4，9/4）是k的范围，因此k=2
7/4到正无穷是f(x)范围
因此最小值是105/16
必须说一句……你题目中的……应该用(f^2+2)/f来表示，而不能用[f(x)]^2+2/f(x)……两者是有区别的……
由于对称轴是x=1/2，开口向上，g=f-2在(-1,3/2)上有两个不同的零点，利用△＞0可求得k＜9/4，再利用g(-1)＞0（不能取等号）以及g(3/2)＞0（不能取等号）可求得k＞0以及k＞5/4，所以9/4＞k＞5/4，又由于k∈Z，∴k=2
故有f≥...
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必须说一句……你题目中的……应该用(f^2+2)/f来表示，而不能用[f(x)]^2+2/f(x)……两者是有区别的……
由于对称轴是x=1/2，开口向上，g=f-2在(-1,3/2)上有两个不同的零点，利用△＞0可求得k＜9/4，再利用g(-1)＞0（不能取等号）以及g(3/2)＞0（不能取等号）可求得k＞0以及k＞5/4，所以9/4＞k＞5/4，又由于k∈Z，∴k=2
故有f≥k-1/4=3/4，即f有可能取到sqrt(2)，所以有均值不等式：(f^2+2)/f=f+2/f≥2sqrt(2)，当且仅当f=2/f，即f=sqrt(2)时等号成立，所以其最小值是2sqrt(2)。
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g(x)=f(x)-2=f(x)=x^2-x+k-2 对其求导 g'(x)=2x-1 令g'(x)=0 得x=1/2 因为g(x)=f(x)-2在(-1,3/2)上有两个不同的零点 所以g(-1)>0,g(1/2)<0,g(3/2)>0,求出5/4
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g(x)=f(x)-2=f(x)=x^2-x+k-2 对其求导 g'(x)=2x-1 令g'(x)=0 得x=1/2 因为g(x)=f(x)-2在(-1,3/2)上有两个不同的零点 所以g(-1)>0,g(1/2)<0,g(3/2)>0,求出5/4
=(x^2-x+k-1)(2x-1)=[(x-1/2)^2+(k-5/4)](2x-1) 因为5/4
所以[f(x)]^2+2/f(x)]导数为0的点为x=1/2
因为在1/2左右导数分别小于0和大于0
所以x=1/2即为[f(x)]^2+2/f(x)]的最小值点
因为[f(x)]^2+2/f(x)]>=2^(1/2)[f(x)]^(1/2) 将x=1/2带入可求最小值为 2
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