设函数f(x)=log1/2(1-ax/x-1)为奇函数,a是常数.(1)求a的值;(2)证明f(x)在(1,+∞)内单调递增;(3)若对[3,4]上的任意x值,不等式f(x)>(1/2)^x+m恒成立,求实数m的取值范围

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 21:46:43
设函数f(x)=log1/2(1-ax/x-1)为奇函数,a是常数.(1)求a的值;(2)证明f(x)在(1,+∞)内单调递增;(3)若对[3,4]上的任意x值,不等式f(x)>(1/2)^x+m恒成

设函数f(x)=log1/2(1-ax/x-1)为奇函数,a是常数.(1)求a的值;(2)证明f(x)在(1,+∞)内单调递增;(3)若对[3,4]上的任意x值,不等式f(x)>(1/2)^x+m恒成立,求实数m的取值范围
设函数f(x)=log1/2(1-ax/x-1)为奇函数,a是常数.
(1)求a的值;
(2)证明f(x)在(1,+∞)内单调递增;
(3)若对[3,4]上的任意x值,不等式f(x)>(1/2)^x+m恒成立,求实数m的取值范围

设函数f(x)=log1/2(1-ax/x-1)为奇函数,a是常数.(1)求a的值;(2)证明f(x)在(1,+∞)内单调递增;(3)若对[3,4]上的任意x值,不等式f(x)>(1/2)^x+m恒成立,求实数m的取值范围
f(-x)=log1/2(1+ax)/(-x-1)=-f(x)=-log1/2(1-ax)/(x-1)=log1/2(x-1)/(1-ax)
(1+ax)/(-x-1)=(x-1)/(1-ax)
1-x^2=1-a^2x^2
a^2=1
a=1或-1
若a=1
则f(x)=log1/2(1-x)/(x-1)=log1/2(-1)
无意义
所以a=-1
f(x)=log1/2(1+x)/(x-1)
(1+x)/(x-1)=(x-1+2)/(x-1)
=1+2/(x-1)
x>1时x-1递增
所以2/(x-1)递减
所以(1+x)/(x-1)是减函数
底数1/21时f(x)是增函数
移项可以得到:m

:(1)∵函数f(x)=log121-axx-1为奇函数
∴f(-x)+f(x)=log121+ax-x-1+log121-axx-1=log121+ax-x-1•1-axx-1=0
即1+ax-x-1•1-axx-1=1
解得a=-1 (6分)
(2)设x1,x2∈(1,+∞)且x1<x2,
∴2x2-2x1>0
∴f...

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:(1)∵函数f(x)=log121-axx-1为奇函数
∴f(-x)+f(x)=log121+ax-x-1+log121-axx-1=log121+ax-x-1•1-axx-1=0
即1+ax-x-1•1-axx-1=1
解得a=-1 (6分)
(2)设x1,x2∈(1,+∞)且x1<x2,
∴2x2-2x1>0
∴f(x1)-f(x2)=log121+x1x1-1-log121+x2x2-1=log12x2-x1+x1x2-1x1-x2+x1x2-1
又∵x2-x1+x1x2-1x1-x2+x1x2-1>1
∴log12x2-x1+x1x2-1x1-x2+x1x2-1<0
∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2),
∴函数f(x)在区间(1,+∞)内单调递增.→_→◑﹏◐

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