已知：如图,在四边形ABCD中,AB=AD.BC=DC,求证：AC⊥BD
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 14:42:12
已知：如图,在四边形ABCD中,AB=AD.BC=DC,求证：AC⊥BD
已知：如图,在四边形ABCD中,AB=AD.BC=DC,求证：AC⊥BD
已知：如图,在四边形ABCD中,AB=AD.BC=DC,求证：AC⊥BD
证明：
∵AB=AD,CB=CD,AC=AC
∴△ABC≌△ADC
∴∠BAC=∠DAC
∵AB=AD
∴AC⊥BD（等腰三角形三线合一）
∵AB=AD，BC=DC
∴△ABC≌△ADC
∴∠1=∠2
∴AC是等腰△ABD的顶角平分线
∴AC⊥BD
因为AB=AD，BC=DC，AC=AC。所以△ABC≌△ADC（SSS） 所以∠1=∠2
又因为AB=AD,∠1=∠2,AO=AO(O为AC和BD的交点)
所以△ABO≌△ADO 则∠AOB=∠AOD
又因为∠AOB+∠AOD=180°，所以∠AOB=∠AOD=90°
故AC⊥BD
记AC交BD于点F
由SSS易证三角形ABC全等于三角形ADC
所以 角1=角2
由AB=AD推出角ABD=角ADB
又因AB=AD
所以三角形ABF全等于三角形ADF
所以角AFB=角AFD
因为脚BFD=180度
所以 角AFB=角AFD =90度
证明：
设AC与BD的交点为E
△ABC和△ADC中
AB=AD
BC=DC
AC=AC
∴△ABC≌△ADC
∠1=∠2
△ABE与△ADE中
AB=AD
AE=AE
∠1=∠2
∴△ABE≌△ADE
∠AEB=∠AED
又∵∠BED=∠AEB+∠AED=180°
∴∠AEB=∠AED=∠BED/2=90°
故AC⊥BD 垂足为E
在△ABC和△ADC中，
AB=AD（已知）
BC=DC（已知）
AC=AC（公共边）
∴△ABC≌△ADC(SSS)
∴∠1=∠2（对应边相等）
又∵AB=AD（已知）
∴AC⊥BD（三线合一定理）