如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠DCB=45°,CD=2,BD⊥CD,过点C作CE⊥AB于E,交对角线BD于F,点G为BC中点,连接EG、AF.（1）求EG的长（2）求证：CF=AB+AF
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/27 19:45:50
如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠DCB=45°,CD=2,BD⊥CD,过点C作CE⊥AB于E,交对角线BD于F,点G为BC中点,连接EG、AF.（1）求EG的长（2）求证：CF=AB+AF
如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠DCB=45°,CD=2,BD⊥CD,过点C作CE⊥AB于E,交对角线BD于F,点G为BC中点,
连接EG、AF.（1）求EG的长（2）求证：CF=AB+AF
如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠DCB=45°,CD=2,BD⊥CD,过点C作CE⊥AB于E,交对角线BD于F,点G为BC中点,连接EG、AF.（1）求EG的长（2）求证：CF=AB+AF
∵BD⊥CD,∠DCB=45°,
∴∠DBC=45°=∠DCB,∴BD=CD=2,在Rt△BDC中BC= DB2+CD2 =2 2 ,
∵CE⊥BE,点G为BC的中点,
∴EG=1 2 BC= 2 ．
答：EG的长是 2 ．
（2）证明：在线段CF上截取CH=BA,连接DH,
∵BD⊥CD,BE⊥CE,
∴∠EBF+∠EFB=90°,∠DFC+∠DCF=90°,
∵∠EFB=∠DFC,
∴∠EBF=∠DCF,
∵DB=CD,BA=CH,
∴△ABD≌△HCD,
∴AD=DH,∠ADB=∠HDC,
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC=45°,
∴∠HDC=45°,∴∠HDB=∠BDC-∠HDC=45°,
∴∠ADB=∠HDB,
∵AD=HD,DF=DF,
∴△ADF≌△HDF,
∴AF=HF,
∴CF=CH+HF=AB+AF,
∴CF=AB+AF．
（解法二）证明：延长BA与CD延长线交于M,
∵△BFE和△CFD中,
∠BEF=∠CDF=90°,∠BFE=∠CFD,
∴∠MBD=∠FCD,
∵△BCD中∠DCB=45°,BD⊥CD,
∴BD=CD,
△BMD和△CFD中,
∵BD=CD,∠BDM=∠CDF=90°,∠MBD=∠FCD,
∴△BMD≌△CFD,
∴CF=BM=AB+AM,DM=DF,
∵AD∥BC,∠ADF=∠DBC=45°∠BDM=90°,
∴∠ADM=∠ADF=45°,
∴△AFD≌△AMD,
∴AM=AF,
∴CF=BM=AB+AM=AB+AF,即CF=AB+AF．
EG=BG=CG=根号2