a^3+b^3+c^3>=3abc如何用柯西不等式证明
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 05:40:51
a^3+b^3+c^3>=3abc如何用柯西不等式证明
a^3+b^3+c^3>=3abc如何用柯西不等式证明
a^3+b^3+c^3>=3abc如何用柯西不等式证明
a^3+b^3+c^3≥3abc有前提条件是a、b、c均为非负数；
当a=b=c=0时,不等式显然成立；
当a、b、c均大于0时,要证a^3+b^3+c^3≥3abc,即证(a^3+b^3+c^3)/abc=(a^2/bc)+(b^2/ac)+(c^2/ab)≥3；
∵由柯西不等式：[(a/b)+(b/a)][(b/a)+(a/b)]≥(1+1)^2=4,[(a/b)+(b/a)]^2=[(a^2+b^2)/ab]^2≥4,
(a^2+b^2)/ab≥2,a^2+b^2≥2ab,1/ab≥2/(a^2+b^2)
∴(a^2/bc)+(b^2/ac)+(c^2/ab)≥2a^2/(b^2+c^2)+2b^2/(a^2+c^2)+2c^2/(a^2+b^2)
令b^2+c^2=x,a^2+c^2=y,a^2+b^2=z,则a^2+b^2+c^2=(x+y+z)/2
∴a^2=(y+z-x)/2,b^2=(x+z-y)/2,c^2=(x+y-z)/2
∴2a^2/(b^2+c^2)+2b^2/(a^2+c^2)+2c^2/(a^2+b^2)=(y+z-x)/x+(x+z-y)/y+(x+y-z)/z
=(y/x)+(z/x)-1+(x/y)+(z/y)-1+(x/z)+(y/z)-1=[(y/x)+(x/y)]+[(z/x)+(x/z)]+[(z/y)+(y/z)]-3
≥2+2+2-3=3,等号当且仅当x=y=z时即a=b=c时成立
∵(a^3+b^3+c^3)/abc≥2a^2/(b^2+c^2)+2b^2/(a^2+c^2)+2c^2/(a^2+b^2)≥3
∴a^3+b^3+c^3≥3abc(a、b、c≥0),等号当且仅当a=b=c时成立