已知f(x)=2x/(1+x^2)（x∈R）,讨论函数f(X)的性质,并作出图麻烦写出具体过程

已知f(x)=2x/(1+x^2)（x∈R）,讨论函数f(X)的性质,并作出图麻烦写出具体过程
已知f(x)=2x/(1+x^2)（x∈R）,讨论函数f(X)的性质,并作出图麻烦写出具体过程

已知f(x)=2x/(1+x^2)（x∈R）,讨论函数f(X)的性质,并作出图麻烦写出具体过程

首先可以判断f（x）为奇函数 因为f(-x)=-2x/(1+x^2)=-f(x),图形关于原点对称

f(0)=0

f’(x)=(2-2x^2)/(1+x^2)^2=2(1-x^2)/(1+x^2)^2

f’’(x)=4x(x^2-3)(x^2+1)/ (1+x^2)^4

(可以忽略那些恒大于0的等式,所以下面的我就不写那些了,只写与关键的拐点相关的等式,你写题目的时候不要忘记加上)

令f’(x)=0 解出x1=-1,x2=1 求得函数f(x)斜率为0两点(-1,-1),(1,1)

令f’’(x)=0 解出x3=-根号3,x4=根号3

对于f’(x)

(负无穷,-1)并（1,正无穷）上f’(x)<0 函数f(x)单调递减

（-1,1）上f’(x)>0函数f(x)单调递增

对于f’’(x)

（负无穷,负根号3）并（根号3,正无穷）f’’(x)>0 可知f’(x)为单调递增

（负根号3,根号3） f’’(x)<0 可知f’(x)为单调递减

分段考虑

1先求f（x）在负无穷上的极限 可求得为0

2 （负无穷,负根号3）上f’(x)<0 函数f(x)单调递减 ,f’’(x)>0 可知f’(x)为单调递增

      f(x)单调递减形状为凸 

3 （负根号3,-1）  f’(x)<0 函数f(x)单调递减  f’’(x)<0 可知f’(x)为单调递减 

          f(x)单调递减形状为凹 

4 （-1,0）f’(x)>0函数f(x)单调递增 f’’(x)<0 可知f’(x)为单调递减

            f(x)单调递增形状为凹  

可画出左边图形,再根据奇偶性画右半就可以了

（图形我尽力了,就这个程度了,如果有不懂得可以HI我）

注意：f"(x)>0并不意味着单调递增，一阶导数>0才是单调递增，二阶导数>0是下凸的图形！
对楼上解补充如下：
解析：（1）先看奇偶性。因为x∈R，所以定义域关于原点对称，又f(-x)=-2x/(1+x^2)=-f(x),所以f(x)为奇函数，其图像关于原点对称。
（2）看单调性。由于f'(x)=[2(1+x^2)-4x^2]/(1+x^2)^2=2(1-x...

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注意：f"(x)>0并不意味着单调递增，一阶导数>0才是单调递增，二阶导数>0是下凸的图形！
对楼上解补充如下：
解析：（1）先看奇偶性。因为x∈R，所以定义域关于原点对称，又f(-x)=-2x/(1+x^2)=-f(x),所以f(x)为奇函数，其图像关于原点对称。
（2）看单调性。由于f'(x)=[2(1+x^2)-4x^2]/(1+x^2)^2=2(1-x^2)/(1+x^2)^2,
令f'(x)>0,得x∈（-1，1）即函数f(x)的单调递增区间为（-1，1）；单调递减区间为（负无穷，-1）与（1，正无穷）。
(3) 再看其极限：当x->-∞时，f(x)->-0，而当x->+∞时，f(x)->+0；因此此时图形已经成形，不必再利用判断二阶导数f"(x)判断奇偶了。
综合上述分析可大致作出图形如下：

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解析：（1）先看奇偶性。因为x∈R，所以定义域关于原点对称，又f(-x)=-2x/(1+x^2)=-f(x),所以f(x)为奇函数，其图像关于原点对称。
（2）看单调性。由于f"(x)=[2(1+x^2)-4x^2]/(1+x^2)^2=2(1-x^2)/(1+x^2)^2,
令f"(x)>0,得x∈（-1，1）即函数f(x)的单调...

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解析：（1）先看奇偶性。因为x∈R，所以定义域关于原点对称，又f(-x)=-2x/(1+x^2)=-f(x),所以f(x)为奇函数，其图像关于原点对称。
（2）看单调性。由于f"(x)=[2(1+x^2)-4x^2]/(1+x^2)^2=2(1-x^2)/(1+x^2)^2,
令f"(x)>0,得x∈（-1，1）即函数f(x)的单调递增区间为（-1，1）；单调递减区间为（负无穷，-1）与（1，正无穷）。

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