求不定积分∫(1/x^2+2x+5)dx有搜到答案是这样的,但是不懂怎么从倒数第二步到最后一步∫1/(x^2+2x+5)dx=∫1/[(x+1)^2+4]dx=∫1/[(x+1)^2+2^2]d(x+1)=(1/2)arctan[(x+1)/2]+C
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 12:13:36
求不定积分∫(1/x^2+2x+5)dx有搜到答案是这样的,但是不懂怎么从倒数第二步到最后一步∫1/(x^2+2x+5)dx=∫1/[(x+1)^2+4]dx=∫1/[(x+1)^2+2^2]d(x+1)=(1/2)arctan[(x+1)/2]+C
求不定积分∫(1/x^2+2x+5)dx
有搜到答案是这样的,但是不懂怎么从倒数第二步到最后一步
∫1/(x^2+2x+5)dx
=∫1/[(x+1)^2+4]dx
=∫1/[(x+1)^2+2^2]d(x+1)
=(1/2)arctan[(x+1)/2]+C
求不定积分∫(1/x^2+2x+5)dx有搜到答案是这样的,但是不懂怎么从倒数第二步到最后一步∫1/(x^2+2x+5)dx=∫1/[(x+1)^2+4]dx=∫1/[(x+1)^2+2^2]d(x+1)=(1/2)arctan[(x+1)/2]+C
∫1/(x^2+2x+5)dx
=∫1/[(x+1)^2+4]dx
=∫(1/4)/[ [(x+1)/2]^2+1]dx
=∫(1/4)·2/[ [(x+1)/2]^2+1]d( (x+1)/2)
=(1/2)∫1/[ [(x+1)/2]^2+1]d( (x+1)/2)
=(1/2)arctan[(x+1)/2]+ C
上面对你搜到的答案进行了细化.
主要还是利用公式：∫[1/(x^2 +1)]dx=arctan(x) +C,本题中配方后,后面出现4,不是1,因此要通过变形,构造成满足公式的形式.你搜到的答案倒数第二步写得不清楚,所以难以理解.
∫1/(x^2+2x+5)dx
=∫1/[(x+1)^2+4]dx
分子分母同除以4
=∫(1/4)/[(x/2+1/2)^2+1]dx
=(1/4)*2∫1/[(x/2+1/2)^2+1]d(x/2+1/2)
=1/2∫1/[(x/2+1/2)^2+1]d(x/2+1/2)
=1/2arctan[(x+1)/2]+C
明白?可继续问.
附:arctanx'=1/(1+x^2)
把(x+1)做为一个整体 即令x+1=t ∫1/[(x+1)^2+2^2]d(x+1) =∫1/(t^2+2^2)dt =1/2∫1/[t/2)^2+1]d(t/2) =(1/2)arctan(t/2)+C { arctan'x=1/(x^2+1) } 代回t=x+1 =(1/2)arctan[(x+1)/2]+C
=∫1/[(x+1)^2+2^2]d(x+1)
=∫1/2^2{(x+1)/2]^2+1}d(x+1) 在分母把2^2提出来
=1/4∫1/{(x+1)/2]^2+1}d(x+1)
=1/2∫1/{(x+1)/2]^2+1}d(x+1)/2
=(1/2)arctan[(x+1)/2]+C ( 有公式 (arctanx)'=1/(x^2+1) )
微分里面需要凑成d(x+1)/2
∫1/(x²+2x+5)dx
=∫1/[(x+1)²+4]dx
=∫1/[(x+1)²+2²]d(x+1)
=∫(1/4)/([(x+1)/2]²+1)
=(1/2)∫d[(x+1)/2]/([(x+1)/2]²+1)
=(1/2)arctan[(x+1)/2]+C
第二步就配平方，第三步换元，
∫ dx/(a^2 + x^2) = (1/a)arctan(x/a) + C