已知a,b,c 的绝对值都小于1,证明ab+bc+ca+1>0恒成立
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 18:01:01
已知a,b,c 的绝对值都小于1,证明ab+bc+ca+1>0恒成立
已知a,b,c 的绝对值都小于1,证明ab+bc+ca+1>0恒成立
已知a,b,c 的绝对值都小于1,证明ab+bc+ca+1>0恒成立
1,当a,b,c 都大于等于0时ab+bc+ca>0所以ab+bc+ca+1>0恒成立
2,当a=0 ,b,c 不等于0时 ab+bc+ca+1=bc+1 因为a,b,c 的绝对值都小于1所以bc绝对值小于1 即bc小于-1或大于0小于1 所以bc+1大于0 ab+bc+ca+1>0恒成立
3,当b=0,a,c不等于0时 ab+bc+ca+1=ca+1 因为a,b,c 的绝对值都小于1所以bc绝对值小于1 即ca小于-1或大于0小于1 所以ca+1大于0 ab+bc+ca+1>0恒成立
4,当c=0,a,b不等于0时 ab+bc+ca+1=ab+1 因为a,b,c 的绝对值都小于1所以ab绝对值小于1 即ca小于-1或大于0小于1 所以ab+1大于0 ab+bc+ca+1>0恒成立
5,当a,b,c=0时ab+bc+ca+1=1所以ab+bc+ca+1>0恒成立
6,当a,b,c 小于0时ab,bc,ca>0所以ab+bc+ca+1>0恒成立
7,当a>0,b,c 小于0时bc>0,ab<0,ca<0
已知a,b,c 的绝对值都小于1,ab+ca<1
所以ab+bc+ca+1>0恒成立
8,当b>0,a,c 小于0时ca>0,ab<0,bc<0
已知a,b,c 的绝对值都小于1,ab+bc<1
所以ab+bc+ca+1>0恒成立
9,当c >0,a,b 小于0时ab>0,ca<0,bc<0
已知a,b,c 的绝对值都小于1,ca+bc<1
所以ab+bc+ca+1>0恒成立
所以当a,b,c 的绝对值都小于1,证明ab+bc+ca+1>0恒成立
依题意 ,可知a,b,c都属于(-1,1)
设f(a)=a(b+c)+bc+1
(易得 f(a)为一次函数,只要f(1)> 0且f(-1)>0即可证出)
f(1)=b+c+bc+1=c(b+1)+b+1=(b+1)(c+1)>0;
f(-1)=-b-c+bc+1=c(b-1)-b+1=(b-1)(c-1)>0;
所以f(a)在(1,1)上恒大于0
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依题意 ,可知a,b,c都属于(-1,1)
设f(a)=a(b+c)+bc+1
(易得 f(a)为一次函数,只要f(1)> 0且f(-1)>0即可证出)
f(1)=b+c+bc+1=c(b+1)+b+1=(b+1)(c+1)>0;
f(-1)=-b-c+bc+1=c(b-1)-b+1=(b-1)(c-1)>0;
所以f(a)在(1,1)上恒大于0
即ab+bc+ca+1>0
(典型的构造函数)
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