已知f(x)是R上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),当x属于[0,1]时,f(x)=-x²+2x.急 （1）求函数f(x)的一条对称轴方程（2）求函数f(x)在区间[2,4]上的解析式（3）能否写书函数f(x)的所有对称轴和对称中心
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 01:38:16
已知f(x)是R上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),当x属于[0,1]时,f(x)=-x²+2x.急 （1）求函数f(x)的一条对称轴方程（2）求函数f(x)在区间[2,4]上的解析式（3）能否写书函数f(x)的所有对称轴和对称中心
已知f(x)是R上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),当x属于[0,1]时,f(x)=-x²+2x.急
（1）求函数f(x)的一条对称轴方程
（2）求函数f(x)在区间[2,4]上的解析式
（3）能否写书函数f(x)的所有对称轴和对称中心
已知f(x)是R上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),当x属于[0,1]时,f(x)=-x²+2x.急 （1）求函数f(x)的一条对称轴方程（2）求函数f(x)在区间[2,4]上的解析式（3）能否写书函数f(x)的所有对称轴和对称中心
已知f(x)是R上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),当x属于[0,1]时,f(x)=-x²+2x.
（1）求函数f(x)的一条对称轴方程
（2）求函数f(x)在区间[2,4]上的解析式
（3）能否写书函数f(x)的所有对称轴和对称中心
(1)解析：∵f(x)是R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x),f(0)=0
又f(x+2)=-f(x)
令x=x+2代入得f(x+4)=-f(x+2)=f(x)
∴f(x)是以4为最小正周期的周期函数
若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b）,则y=f(x)是周期函数,且4|a-b|是其一个周期.
4|a-b|=4==>|0-b|=1==>b=-1或b=1
∴直线x=-1或x=1是f(x) 的一条对称轴方程
(2)解析：∵当x属于[0,1]时,f(x)=-x²+2x
f(-x)=-x²-2x=-f(x)
f(x)=x^2+2x
∴当x属于[-1,0]时,f(x)=x²+2x
∵直线x=-1是f(x) 的一条对称轴方程
函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a成轴对称
∴f(-2-x)=(-2-x)^2+2(-2-x)=x^2+4x+4-4-2x=x^2+2x
∴当x属于[-2,-1]时,f(x)=x²+2x
即当x属于[-2,0]时,f(x)=x²+2x
将其图像水平右移4个单位得f(x-4)=(x-4)²+2(x-4)=x^2-8x+16+2x-8=x^2-6x+8
∴f(x)在区间[2,4]上的解析式为f(x)= x^2-6x+8
(3)解析：对称轴x=4k-1或x=4k+1 (k∈Z)
对称中心：（2k,0）(k∈Z)
f(x+4)==f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x)
f(x)以4 为周期
所以只需求出f(x)在【-2.2】上的最大值，由于是奇函数，又只需求出函数在【0,2】上的最小值，最大值，其绝对值最大的就是最大值。
由于在[0,1】上的f(x)=-x^2+2x 最大值1，最小值0
所以在【-1,0】上 f(x)=-f(-x)=x^2+2x,
于是在【1,...
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f(x+4)==f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x)
f(x)以4 为周期
所以只需求出f(x)在【-2.2】上的最大值，由于是奇函数，又只需求出函数在【0,2】上的最小值，最大值，其绝对值最大的就是最大值。
由于在[0,1】上的f(x)=-x^2+2x 最大值1，最小值0
所以在【-1,0】上 f(x)=-f(-x)=x^2+2x,
于是在【1,2】上
f(x)=f(x-2+2)
=-f(x-2)=-[(x-2)^2+2(x-2)] (-1<=x-2<=0)
=-x^2+2x最大值为1，最小值0
总之，f(x)在【0,2】上的最大值是1，最小值是0
f(x)的最大值为1
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