已知定义域为R的奇函数f(x)满足f[log2(X)]=(-x+a)/(x+1)(1).求函数f（x)的解析式(2).判断并证明发f(x)在定义域R上的单调性(3).若对任意的t属于R,不等式发f(t^2-2t)+f(2t^2-k)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 14:01:12
已知定义域为R的奇函数f(x)满足f[log2(X)]=(-x+a)/(x+1)(1).求函数f（x)的解析式(2).判断并证明发f(x)在定义域R上的单调性(3).若对任意的t属于R,不等式发f(t^2-2t)+f(2t^2-k)
已知定义域为R的奇函数f(x)满足f[log2(X)]=(-x+a)/(x+1)
(1).求函数f（x)的解析式
(2).判断并证明发f(x)在定义域R上的单调性
(3).若对任意的t属于R,不等式发f(t^2-2t)+f(2t^2-k)
已知定义域为R的奇函数f(x)满足f[log2(X)]=(-x+a)/(x+1)(1).求函数f（x)的解析式(2).判断并证明发f(x)在定义域R上的单调性(3).若对任意的t属于R,不等式发f(t^2-2t)+f(2t^2-k)
(1)令t＝㏒2 x ∴x＝2^t ∵f[log2(X)]=(-x+a)/(x+1) ∴f(t)＝(﹣2^t＋a)/(2^t＋1)
∴f(x)＝(﹣2^x＋a)/(2^x＋1)
∵定义域为R的奇函数f(x) ∴f(﹣x)＝﹣f(x)
∴f(x)＝(﹣2^x＋a)(2^x＋1)＝﹣f(﹣x)＝﹣[﹣2^(﹣x)＋a]/[2^(﹣x)＋1]＝(1－a×2^x)/(2^x＋1)
∴a＝1 ∴f(x)＝(1－2^x)/(2^x＋1)
(2)f(x)在定义域R上是减函数
证明：设x1＜x2
∵f(x1)－f(x2)＝(1－2^x1)/(2^x1＋1)－(1－2^x2)/(2^x2＋1)＝2(2^x2－2^x1)/[(2^x1＋1)(2^x2＋1)]
∵2^x1＞0 2^x2＞0 2^x2＞2^x1 ∴f(x1)－f(x2)＞0 ∴f(x1)＞f(x2)
∴f(x)在定义域R上是减函数
(3)∵f(t²－2t)＋f(2t²－k)＜0 ∴f(t²－2t)＜﹣f(2t²－k)
∵定义域为R的奇函数f(x) ∴f(t²－2t)＜f(﹣2t²＋k)
∵f(x)在定义域R上是减函数 ∴t²－2t＞﹣2t²＋k ∴3t²－2t－k＞0
∴对任意的t属于R,不等式发f(t^2-2t)+f(2t^2-k)