在Rt三角形ABC中,角ACB等于90度,CD垂直于AB,AF平分角CAB交AD于E,交CB于F,EG平行CB于G,求CF=GB
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 17:08:27
在Rt三角形ABC中,角ACB等于90度,CD垂直于AB,AF平分角CAB交AD于E,交CB于F,EG平行CB于G,求CF=GB
在Rt三角形ABC中,角ACB等于90度,CD垂直于AB,AF平分角CAB交AD于E,交CB于F,EG平行CB于G,求CF=GB
在Rt三角形ABC中,角ACB等于90度,CD垂直于AB,AF平分角CAB交AD于E,交CB于F,EG平行CB于G,求CF=GB
题有问题,若是EG平行AB,AF平分角CAB交CD于E,则结论可证
证明：过点F作FH垂直AB于H
所以角FHC=角AHF=90度
因为AF平分角CAB
所以角CAF=角HAF
因为角ACB=90度
所以角ACB=角AHF=90度
因为AF=AF
所以三角形ACF和三角形AHF全等（AAS)
所以CF=FH
因为CD垂直AB
所以角CDB=90度
因为角CDB+角B+角BCD=180度
所以角B+角BCD=90度
因为角ACB=角ACD+角BCD=90度
所以角ACD=角B
因为角CEF=角CAF+角ACD
角CFE=角B+角HAF
所以角CEF=角CFE
所以CE=CF
所以CE=FH
因为EG平行AB
所以角CGE=角B
角CEG=角CDB=90度
所以角CEG=角FHC=90度
所以三角形CEG和三角形FHB全等（AAS)
所以CG=BF
因为CG=CF+FG
BF=FG+BG
所以CF=BG
∵∠CAF＝∠BAF，∴CF/BF＝AC/AB，［三角形内角平分线定理］
∴CF/（CF＋BF）＝AC/（AC＋AB），［合比定理］
∴CF＝BC×AC/（AC＋AB）。·········①
∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴由射影定理，有：AC^2＝AD×AB，∴AD＝AC^2/AB。
由三角形内角平分线定理，有：CE/ED＝AC/AD＝AC/（AC^2/AB）＝AB/...
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∵∠CAF＝∠BAF，∴CF/BF＝AC/AB，［三角形内角平分线定理］
∴CF/（CF＋BF）＝AC/（AC＋AB），［合比定理］
∴CF＝BC×AC/（AC＋AB）。·········①
∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴由射影定理，有：AC^2＝AD×AB，∴AD＝AC^2/AB。
由三角形内角平分线定理，有：CE/ED＝AC/AD＝AC/（AC^2/AB）＝AB/AC。
∵EG∥DB，∴CE/ED＝CG/GB，结合证得的CE/ED＝AB/AC，得：CG/GB＝AB/AC，
∴（CG＋GB）/GB＝（AB＋AC）/AC，［合比定理］
∴GB＝AC×BC/（AC＋AB）·········②
比较①、②，得：CF＝GB。
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