如图,在△ABC中,∠B,∠C的平分线交于点D,DE//AC交于点E,DF//BC交于AC于点E,求证：四边形DECF为菱形!
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 20:39:40
如图,在△ABC中,∠B,∠C的平分线交于点D,DE//AC交于点E,DF//BC交于AC于点E,求证：四边形DECF为菱形!
如图,在△ABC中,∠B,∠C的平分线交于点D,DE//AC交于点E,DF//BC交于AC于点E,求证：四边形DECF为菱形!
如图,在△ABC中,∠B,∠C的平分线交于点D,DE//AC交于点E,DF//BC交于AC于点E,求证：四边形DECF为菱形!
（1）点D是△ABC的内心．（2分）
（2）证法一：连接CD,（3分）
∵DE∥AC,DF∥BC,
∴四边形DECF为平行四边形,（4分）
又∵点D是△ABC的内心,
∴CD平分∠ACB,即∠FCD=∠ECD,（5分）
又∠FDC=∠ECD,
∴∠FCD=∠FDC
∴FC=FD,（6分）
∴▱DECF为菱形．（7分）
证法二：
过D分别作DG⊥AB于G,DH⊥BC于H,DI⊥AC于I．（3分）
∵AD,BD分别平分∠CAB,∠ABC,
∴DI=DG,DG=DH．
∴DH=DI．（4分）
∵DE∥AC,DF∥BC,
∴四边形DECF为平行四边形,（5分）
∴S□DECF=CE•DH=CF•DI,
∴CE=CF．（6分）
∴▱DECF为菱形．（7分）
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∵DE//AC,DF//BC
∴四边形DECF是平行四边形
∵CD平分∠ACB
∴∠ACD=∠BCD
∵DE∥AC
∴∠ACD=∠CDE
∴∠CDE=∠BCD
∴CE=DE
∵四边形DECF是平行四边形
∴四边形DECF为菱形
∵CD平分∠ACB
∴∠ACD=∠BCD
又DE∥AC，DF∥BC
∴四边形DECF为平行四边形
∠CDE=∠ACD
∴∠CDE=∠BCD
∴CE=DE
∴四边形DECF为菱形
证明：
DE//AC
DF//BC
所以：四边形DECF是平行四边形
CD是∠ACB的平分线，∠FCD=∠ECD
因为：DE//AC，所以：∠FCD=∠EDC=∠ECD
所以：EC=ED
所以：平行四边形DECF是菱形