已知三角形ABC的周长为16,面积为6,且边BC=6,AB·AC=（这里的AB和AC是向量）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 02:08:02
已知三角形ABC的周长为16,面积为6,且边BC=6,AB·AC=（这里的AB和AC是向量）
已知三角形ABC的周长为16,面积为6,且边BC=6,AB·AC=（这里的AB和AC是向量）
已知三角形ABC的周长为16,面积为6,且边BC=6,AB·AC=（这里的AB和AC是向量）
∵三角形ABC的周长为16,BC=6,
∴a+b+c=16 ,a=6
∴b+c=10
∴b²+c²+2bc=100
∴b²+c²=100-2bc
根据余弦定理
a²=b²+c²-2bccosA
∴36=b²+c²-2bccosA
∴36=100-2bc-2bccosA
∴bc(1+cosA)=32
∴bc*cos²(A/2)=16
∵,面积为6
∴1/2*bcsinA=6
∴bc*sin(A/2)cos(A/2)=6
∴tan(A/2)=3/8
∴cosA=[1-tan²(A/2)]/[1+tan²(A/2)]
=(1-9/64)/(1+9/64)
=55/73
∵bc(1+cosA)=32
∴bc（1+55/73)=32
∴bc=73/4
∴AB·AC=bc*cosA=73/4*55/73=55/4
设于BC边垂直的高为h；
S=BC*h/2=6;
h=2;
AB+AC+BC=16, 则AB+AC=10~~~~~~~~~~1；
sqrt(AB^2-h^2)-sqrt(AC^2-h^2)=BC=6~~~~~~~~~~2;
AB^2-4=36+AC^2-4+12sqrt(AC^2-4);
AC^2-20AC+100-4=36+AC^2-4+12sqrt(AC^2-4);
16-5AC=3sqrt(AC^2-4);
256-160AC+25AC^2=9AC^2-36;
16AC^2-160AC+292=0;
由题设可知：
a+b+c=16且a=BC=6,
∴b+c=10,
结合海伦定理可知：
p=(a+b+c)/2=8
S=6
S²＝p(p-a)(p-b)(p-c)
∴36=8(8-6)(8-b)(8-c)
整理可得：bc-8(b+c)+64=9/4
结合b+c=10可得：bc=73/4
...
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由题设可知：
a+b+c=16且a=BC=6,
∴b+c=10,
结合海伦定理可知：
p=(a+b+c)/2=8
S=6
S²＝p(p-a)(p-b)(p-c)
∴36=8(8-6)(8-b)(8-c)
整理可得：bc-8(b+c)+64=9/4
结合b+c=10可得：bc=73/4
由余弦定理可得：
cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=[(b+c)²-a²-2bc]/(2bc)
=[100-36-(73/2)]/(73/2)
=55/73
再结合内积的定义可知：
AB·AC=bccosA=(73/4)×(55/73)=55/4
∴AB·AC=55/4
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