在梯形ABCD中,AB平行于CD 角ADC=90 3AD=DC=3,AB=2,E是DC上一点,满足DE=1,连接AE,将三角形DAE沿AE折起到D1AE的位置,使得角D1AB=60度,设AC与BE的交点O求异面直线OD1与AE所成角判断面D1AE与面ABCE是否垂直并说明
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 09:00:11
在梯形ABCD中,AB平行于CD 角ADC=90 3AD=DC=3,AB=2,E是DC上一点,满足DE=1,连接AE,将三角形DAE沿AE折起到D1AE的位置,使得角D1AB=60度,设AC与BE的交点O求异面直线OD1与AE所成角判断面D1AE与面ABCE是否垂直并说明
在梯形ABCD中,AB平行于CD 角ADC=90 3AD=DC=3,AB=2,E是DC上一点,满足DE=1,连接AE,将三角形DAE沿AE折起到D1AE的位置,使得角D1AB=60度,设AC与BE的交点O
求异面直线OD1与AE所成角
判断面D1AE与面ABCE是否垂直并说明理由
在梯形ABCD中,AB平行于CD 角ADC=90 3AD=DC=3,AB=2,E是DC上一点,满足DE=1,连接AE,将三角形DAE沿AE折起到D1AE的位置,使得角D1AB=60度,设AC与BE的交点O求异面直线OD1与AE所成角判断面D1AE与面ABCE是否垂直并说明
1、先说明第二问,在原梯形平面上取AE中点H,连结DH并延长交AB于F,
∵DE=AD=1,〈ADE=90°,
∴△ADE是等腰RT△,AE=√2,
DH=AE/2=√2/2,
∵〈ADH=45°,〈DAH=90°,
∴△FAH也是等腰RT△,
∴AF=AD=1,HF=AH=√2/2,
经折叠后,等腰RT△ADE未变化,
∵〈D1AF=60°,AD1=AF=1,
∴△D1AF是正△,
∴D1F=AF=1,
在△D1HF中,
D1H^2+HF^2=1,D1F^2=1,
∴根据勾股定理逆定理,△D1HF是RT△,
∴D1H⊥HF,
∵AE⊥D1H,AE⊥HF,
∴〈D1HF是二面角D1-AE-F的平面角,
∴二面角D1-AE-F为直角 ,即平面D1AE⊥平面ABCE.
2、在原梯形中,∵CD//AB,
∴△DOC∽△BOA,
∴DC/AB=CO/AO=DO/BO,
根据勾股定理,
AC=√10,BD=√5,
AO=2AC/5=2√10/5,
以A为原点,AB为X轴,AD为Y轴,在A点向上的垂线方向为Z轴建立空间直角坐标系,O点横坐标为2DC/5=6/5,纵坐标为2AD/5=2/5,
A（0,0,0）,B（2,0,0）,D（0,1,0）,
E（1,1,0）,C（3,1,0）,D1（1/2,1/2,√2/2）,
O（6/5,2/5,0）,
向量D1O=（7/10,-1/10,-√2/2）,
向量AE=（1,1,0）,
D1O•AE=7/10-1/10+0=3/5,
|D1O|=√(49/100)+1/100+1/2)=1,
|AE|=√（1+1）=√2,
设向量D1O和AE所成角为θ,
cosθ= D1O•AE/(|D1O|*|AE|)=(3/5)/(1*√2)=3√2/10,
θ=arcos(3√2/10),
∴异面直线OD1与AE所成角为arcos(3√2/10),