如图,在△ABC中,D是BC的中点,过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线BG于G点,DE⊥GF,交AB于点E,连接EG（1）求证：BG=CF；（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系,并证明你的结论．
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/27 20:49:03
如图,在△ABC中,D是BC的中点,过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线BG于G点,DE⊥GF,交AB于点E,连接EG（1）求证：BG=CF；（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系,并证明你的结论．
如图,在△ABC中,D是BC的中点,过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线BG于G点,DE⊥GF,交AB于点E,连接EG
（1）求证：BG=CF；
（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系,并证明你的结论．
如图,在△ABC中,D是BC的中点,过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线BG于G点,DE⊥GF,交AB于点E,连接EG（1）求证：BG=CF；（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系,并证明你的结论．
（1）由AC∥BG,得：∠BGD＝∠CFD,∠GBD＝∠FCD,结合BD＝CD,可知：
△BGD、△CFD全等,得：BG＝CF.
（2）由△BGD、△CFD全等,得：DG＝DF,结合DE⊥DF,得EG＝EF.
显然有：BE＋BG＞EG,于是：BE＋CF＞EF.
证明
∵BG∥AC，
∴∠DBG=∠DCF．
又∵BD=CD，∠BDG=∠CDF，
∴△BGD≌△CFD（ASA）．
∴BG=CF．
∵△BGD≌△CFD，
∴GD=FD，BG=CF．
又∵DE⊥FG，
∴EG=EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．
∴在△EBG中，BE+BG＞EG，
即BE+CF＞EF．<...
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证明
∵BG∥AC，
∴∠DBG=∠DCF．
又∵BD=CD，∠BDG=∠CDF，
∴△BGD≌△CFD（ASA）．
∴BG=CF．
∵△BGD≌△CFD，
∴GD=FD，BG=CF．
又∵DE⊥FG，
∴EG=EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．
∴在△EBG中，BE+BG＞EG，
即BE+CF＞EF．
当∠EBG为直角即 ∠A为直角时 BE²+CF²=EF²
当∠EBG为钝角即 ∠A为锐角时 BE²+CF²
收起
因为BG平行与AC 所以角GBD＝角DCA 又因为角BDG＝角CDF D为BC中点，所以BD＝CD，所以由角角边的定理推出三角形BGD全等于三角形CFD，所以BG＝CF。
（2）：由于全等，所以D也为GF的中点，又因为ED垂直于GF，所以三角形EGF为等腰三角形！所以GE＝EF，又因为BG＝CF，所以再三角形BGE中有BE＋BG大雨GE，所以BE＋CF也大于EC!
有用请采纳...
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因为BG平行与AC 所以角GBD＝角DCA 又因为角BDG＝角CDF D为BC中点，所以BD＝CD，所以由角角边的定理推出三角形BGD全等于三角形CFD，所以BG＝CF。
（2）：由于全等，所以D也为GF的中点，又因为ED垂直于GF，所以三角形EGF为等腰三角形！所以GE＝EF，又因为BG＝CF，所以再三角形BGE中有BE＋BG大雨GE，所以BE＋CF也大于EC!
有用请采纳
收起
证明：（1）∵BG∥AC，
∴∠DBG=∠DCF．
又∵BD=CD，∠BDG=∠CDF，
∴△BGD≌△CFD（ASA）．
∴BG=CF．
（2）BE+CF＞EF．
∵△BGD≌△CFD，
∴GD=FD，BG=CF．
又∵DE⊥FG，
∴EG=EF．
∴在△EBG中，BE+BG＞EG，
即BE+CF＞EF．