五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,∠BAE=∠BCD=120°,∠ABC+∠AED=180°,连接AD．求证：AD平分∠CDE．
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 07:22:30
五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,∠BAE=∠BCD=120°,∠ABC+∠AED=180°,连接AD．求证：AD平分∠CDE．
五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,∠BAE=∠BCD=120°,∠ABC+∠AED=180°,连接AD．求证：AD平分∠CDE．
五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,∠BAE=∠BCD=120°,∠ABC+∠AED=180°,连接AD．求证：AD平分∠CDE．
证一：如图40,连接AC,将△ABC绕A点旋转120°到△AEF．
∵AB=AE,∠BAE=120°,∴AB与AE重合．又∠ABC+∠AED=180°．
\x09∴D,E,F在一条直线上,AC=AF．在△ACD和△AFD中,DE+EF=DE+BC=CD．AF=AC,
\x09∴△ACD≌△AFD,∴∠ADC=∠ADF即AD平分∠CDE．
\x09证二：如图41连接AC．
\x09∵BC+DE=CD,AB=AE,∠ABC+∠AED=180°．
\x09∴将△ABC,绕C点顺时针方向旋转至
\x09△FGC,同时将△AED绕D点逆时针方向旋转至△FGD．
\x09则AB与AE重合成FG,AC旋转后成CF,AC=CF,AD旋转后成DF,AD=DF,CD=CD．
\x09∴△ACD≌△FCD,∴∠ADC=∠FDC=∠ADE．即AD平分∠CDE．
\x09证三：如图42．
\x09∵BC+DE=CD．在CD上,取CF=DE,则FD=BC．连接BF,FE,AF,AC．
\x09在△BCF和△FDE中,BC=FD,CF=DE,∠BCF=120°,
\x09∠FDE=540°-120°-120°-180°=120°（五边形内角和=540°）
\x09∴△BCF≌△FDE．∴BF=FE,∠1=∠3,∠2=∠4．
\x09在△ABF和△AEF中,AB=AE,BF=FE,
\x09
\x09在△ACF和△ADE中,AF=AE,CF=DE,∠AFC=60°+∠2=60°+∠4=∠AED,
\x09∴△ACF≌△ADE,∠ADE=∠ACF,AC=AD,∠ACF=∠ADF,
\x09∴∠ADE=∠ADF,∴AD平分∠CDE．
\x09证四：如图43,延长BC,ED相交于F,自A向BC和DE的延长线引垂线AG,AH,垂足分别为G,H连接AF与CD相交于K．
\x09在Rt△ABG和Rt△AEH中,AB=AE,∠ABG=180°-∠AED=∠AEH,
\x09∴△ABG≌△AEH,∴AG=AH,∠BAG=∠EAH．
连接AC，延长DE到F，使得DF=CD。
要证AD平分∠CDE，只需证明∠ADC=∠ADF。
下面证明三角形ACD全等于三角形AFD：
因为CD=DF， AD=AD
只需证明AC=AF。
由于AC,AF分别在三角形ABC,AEF中，只需证明这两个三角形全等即可。
首先，由已知得∠ABC=180°-∠AED, ∠AEF=180°-∠AED(互为补角)，...
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连接AC，延长DE到F，使得DF=CD。
要证AD平分∠CDE，只需证明∠ADC=∠ADF。
下面证明三角形ACD全等于三角形AFD：
因为CD=DF， AD=AD
只需证明AC=AF。
由于AC,AF分别在三角形ABC,AEF中，只需证明这两个三角形全等即可。
首先，由已知得∠ABC=180°-∠AED, ∠AEF=180°-∠AED(互为补角)，所以∠ABC=∠AEF。
又因为AB=AE，BC=CD-DE=DF-DE=EF，
根据SAS可知，三角形ABC全等于三角形AEF。
于是，AC=AF。
在三角形ACD和三角形AFD中，根据SSS可知，两个三角形全等。
故∠ADC=∠ADF，即AD平分∠CDE。
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