函数f(x)=-2x^+mx+1在区间【1,4】上是单调函数,则m的取值范围?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/28 03:06:04
函数f(x)=-2x^+mx+1在区间【1,4】上是单调函数,则m的取值范围?
函数f(x)=-2x^+mx+1在区间【1,4】上是单调函数,则m的取值范围?
函数f(x)=-2x^+mx+1在区间【1,4】上是单调函数,则m的取值范围?
方法一：最基础的课本关于函数单调性的定义来
设1≤x1＜x2≤4,则：
f（x1）-f(x2)=（-2x1²+mx1+1）-（-2x2²+mx2+1）
=-2（x1²-x2²）+m（x1-x2）
=-2(x1-x2)(x1+x2)+m(x1-x2)
=2(x2-x1)(2x2+2x1-m)
分类讨论：
如果f（x）在[1,4]单调增函数,则f（x1）-f(x2)＜0
∵x2-x1＞0,∴2x2+2x1-m＜0
m＞2（x2+x1）
又因为1≤x1＜x2≤4,∴2＜x1+x2＜8,4＜2（x1+x2）＜16
∴要使得m＞2（x2+x1）恒成立,则m≥16；
如果f（x）在[1,4]单调减函数,则f（x1）-f（x2）＞0
∵x2-x1＞0,∴2（x1+x2）-m＞0
m＜2（x1+x2）
又4＜2（x1+x2）＜16
∴要使得m＜2（x1+x2）恒成立,则m≤4；
综上：m≥16或m≤4；
方法二：从一元二次函数的图像来解；
∵f（x）=-2x²+mx+1的图像的对称轴为x=-（m）/-2*2=m/4
∴区间[1,4]在对称轴的左边或者右边时,f（x）都是单调的,
∴m/4≤1或m/4≥4
m≤4或m≥16；
楼上的运用的是方法三,关于函数与导数的关系,只是用此方法求出的单调性是区间（1,4）而不是区间[1,4],所以漏掉了m=4或m=16.这是利用导数判断函数单调性最容易出现的漏洞.
因为f'(x)=-4x+m 故f'(x)单调递减
则f(1)>f(4)>0或0>f(1)>f(4)
所以-4+m<0或-16+m>0
所以m<4或m>16