质数 和 素数 分别是如何定义的
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 11:19:13
质数 和 素数 分别是如何定义的
质数 和 素数 分别是如何定义的
质数 和 素数 分别是如何定义的
质数
什么是质数?就是在所有比1大的整数中,除了1和它本身以外,不再有别的约数,这种整数叫做质数,质数又叫做素数.这终规只是文字上的解释而已.能不能有一个代数式,规定用字母表示的那个数为规定的任何值时,所代入的代数式的值都是质数呢?
质数的分布是没有规律的,往往让人莫名其妙.如:101、401、601、701都是质数,但上下面的301(7*43)和901(17*53)却是合数.
有人做过这样的验算:1^2+1+41=43,2^2+2+41=47,3^2+3+41=53……于是就可以有这样一个公式:设一正数为n,则n^2+n+41的值一定是一个质数.这个式子一直到n=39时,都是成立的.但n=40时,其式子就不成立了,因为40^2+40+41=1681=41*41.
被称为“17世纪最伟大的法国数学家”费尔马,也研究过质数的性质.他发现,设Fn=2^(2^n),则当n分别等于0、1、2、3、4时,Fn分别给出3、5、17、257、65537,都是质数,由于F5太大(F5=14292967297),他没有再往下检测就直接猜测:对于一切自然数,Fn都是质数.但是,就是在F5上出了问题!费尔马死后67年,25岁的瑞士数学家欧拉证明:F5=14292967297=641*6700417,并非质数,而是合数.
更加有趣的是,以后的Fn值,数学家再也没有找到哪个Fn值是质数,全部都是合数.目前由于平方开得较大,因而能够证明的也很少.现在数学家们取得Fn的最大值为:n=1495.这可是个超级天文数字,其位数多达10^10584位,当然它尽管非常之大,但也不是个质数.质数和费尔马开了个大玩笑!
17世纪还有位法国数学家叫梅森,他曾经做过一个猜想:2^p-1代数式,当p是质数时,2^p-1是质数.他验算出了:当p=2、3、5、7、17、19时,所得代数式的值都是质数,后来,欧拉证明p=31时,2^p-1是质数. p=2,3,5,7时,Mp都是素数,但M11=2047=23×89不是素数.
还剩下p=67、127、257三个梅森数,由于太大,长期没有人去验证.梅森去世250年后,美国数学家科勒证明,2^67-1=193707721*761838257287,是一个合数.这是第九个梅森数.20世纪,人们先后证明:第10个梅森数是质数,第11个梅森数是合数.质数排列得这样杂乱无章,也给人们寻找质数规律造成了困难.
还有一种质数叫费马数.形式是:Fn=2^(2^n)+1 是质数的猜想.
如F1=2^(2^1)+1=5
F2=2^(2^2)+1=17
F3=2^(2^3)+1=257
F4=2^(2^4)+1=65537
F5=2^(2^5)+1=4294967297
前4个是质数,因为第5个数实在太大了,费马认为是实数,并提出(费马没给出证明)
后来欧拉算出F5=641*6700417.
目前只有n=0,1,2,3,4,Fn才是质数.
现在,数学家找到的最大的梅森数是一个有9808357位的数:2^32582657-1.数学虽然可以找到很大的质数,但质数的规律还是无法循通.
素数
素数是这样的整数,它除了能表示为它自己和1的乘积以外,不能表示为任何其它两个整数的乘积.例如,15=3*5,所以15不是素数;又如,12=6*2=4*3,所以12也不是素数.另一方面,13除了等于13*1以外,不能表示为其它任何两个整数的乘积,所以13是一个素数.
有的数,如果单凭印象去捉摸,是无法确定它到底是不是素数的.有些数则可以马上说出它不是素数.一个数,不管它有多大,只要它的个位数是2、4、5、6、8或0,就不可能是素数.此外,一个数的各位数字之和要是可以被3整除的话,它也不可能是素数.但如果它的个位数是1、3、7或9,而且它的各位数字之和不能被3整除,那么,它就可能是素数(但也可能不是素数).没有任何现成的公式可以告诉你一个数到底是不是素数.你只能试试看能不能将这
个数表示为两个比它小的数的乘积.
找素数的一种方法是从2开始用“是则留下,不是则去掉”的方法把所有的数列出来(一直列到你不想再往下列为止,比方说,一直列到10,000).第一个数是2,它是一个素数,所以应当把它留下来,然后继续往下数,每隔一个数删去一个数,这样就能把所有能被2整除、因而不是素数的数都去掉.在留下的最小的数当中,排在2后面的是3,这是第二个素数,因此应该把它留下,然后从它开始往后数,每隔两个数删去一个,这样就能把所有能被3整除的数全都去掉.下一个未去掉的数是5,然后往后每隔4个数删去一个,以除去所有能被5整除的数.再下一个数是7,往后每隔6个数删去一个;再下一个数是11,往后每隔10个数删一个;再下一个是13,往后每隔12个数删一个.……就这样依法做下去.
你也许会认为,照这样删下去,随着删去的数越来越多,最后将会出现这样的情况;某一个数后面的数会统统被删去崮此在某一个最大的素数后面,再也不会有素数了.但是实际上,这样的情况是不会出现的.不管你取的数是多大,百万也好,万万也好,总还会有没有被删去的、比它大的素数.
事实上,早在公元前300年,希腊数学家欧几里得就已证明过,不论你取的数是多大,肯定还会有比它大的素数,假设你取出前6个素数,并把它们乘在一起:2*3*5*7*11*13=30030,然后再加上1,得30031.这个数不能被2、3、5、7、11、13整除,因为除的结果,每次都会余1.如果30031除了自己以外不能被任何数整除,它就是素数.如果能被其它数整除,那么30031所分解成的几个数,一定都大于13.事实上,30031=59*509.
对于前一百个、前一亿个或前任意多个素数,都可以这样做.如果算出了它们的乘积后再加上1,那么,所得的数或者是一个素数,或者是比所列出的素数还要大的几个素数的乘积.不论所取的数有多大,总有比它大的素数,因此,素
数的数目是无限的.
随着数的增大,我们会一次又一次地遇到两个都是素数的相邻奇数对,如5,7;11,13;17,19;29,31;41,43;等等.就数学家所能及的数来说,它们总是能找到这样的素数对.这样的素数对到底是不是有无限个呢?谁也不知道.数学家认为是无限的,但他们从来没能证明它.这就是数学家为什么对素数感兴趣的原因.素数为数学家提供了一些看起来很容易、但事实却非常难以解决的问题,他们目前还没能对付这个挑战哩
一个的因数只有1和本身,一个的因数除了1和本身外。还有其他因数
我来补充一点,学会 质数,也就是素数并不难,上面几位朋友解释的很清楚了,但是在实际考试中,要能迅速识别哪个数是素数,要计算出哪个数为素数只有熟能生巧。
我在这里推荐素数的记忆口诀如下:
100以内的质数歌谣
“二、三、五、七带十一
十三、十七记心里
十九、二三、二十九
三十一来三十七
四一、四三、四十七
全部展开
我来补充一点,学会 质数,也就是素数并不难,上面几位朋友解释的很清楚了,但是在实际考试中,要能迅速识别哪个数是素数,要计算出哪个数为素数只有熟能生巧。
我在这里推荐素数的记忆口诀如下:
100以内的质数歌谣
“二、三、五、七带十一
十三、十七记心里
十九、二三、二十九
三十一来三十七
四一、四三、四十七
各个都要牢牢记
五十三、五十九
六十一来六十七
七一、七三、七十九
八三、八九、九十七。”
质数口决
二三五七一十一(2、3、5、7、11)
十三、十七、一十九、(13、17、19)
二三九、三一七、(23、29、31、37)
五三九、六一七(53、59、61、67、)
四一三九、七一三九(41 43 49 71 73 79 )
八三八九、九十七(83 89 97 )
一百以内质数口诀
二,三,五,七,一十一;
一三,一九,一十七;
二三,二九,三十七;
三一,四一,四十七;
四三,五三,五十九;
六一,七一,六十七;
七三,八三,八十九;
再加七九,九十七;
25个质数不能少;
百以内质数心中记。
100以内质数记忆法
100以内的质数共有25个,这些质数我们经常用到,可以用下面的两种办法记住它们。
一、规律记忆法
首先记住2和3,而2和3两个质数的乘积为6。100以内的质数,一般都在6的倍数前、后的位置上。如5、7、11、13、19、23、29、31、37、41、43……只有25、35、49、55、65、77、85、91、95这几个6的倍数前后位置上的数不是质数,而这几个数都是5或7的倍数。由此可知:100以内6的倍数前、后位置上的两个数,只要不是5或7的倍数,就一定是质数。根据这个特点可以记住100以内的质数。
二、分类记忆法
我们可以把100以内的质数分为五类记忆。
第一类:20以内的质数,共8个:2、3、5、7、11、13、17、19。
第二类:个位数字是3或9,十位数字相差3的质数,共6个:23、29、53、59、83、89。
第三类:个位数字是1或7,十位数字相差3的质数,共4个:31、37、61、67。
第四类:个位数字是1、3或7,十位数字相差3的质数,共5个:41、43、47、71、73。
第五类:还有2个持数是79和97。
100以内质数及记忆方法
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
方法:
2 3 5 7 和 11
13 17 19 没有21
23 29 31 和 37
41 43 47没有51
53 59 61 和 67
71 73 79 没有81
83 89 97因为只到一百
所以没有101
100以内素数歌
百内素数巧记忆:
二三五七素数起,
二五八十添三九,
三六九十加七一,
一四七十讲友谊,
一三七九全配齐,
七七四九九十一,
不合规律要注意。
各句顺口溜解释如下:
第一、二句:2、3、5、7四个一位数素数是所有素数中最小的几个,可以看作是素数队伍的开始。
第三、四句:十位上是2、5、8的素数个位是3或9:23、29、53、59、83、89;十位上是3、6、9的素数个位是7或1:31、37、61、67、(91、)97。(注:加括号的91不是素数。)
第五、六句:十位上是1、4、7的素数个位上1、3、7、9四个数字都有:11、13、17、19、41、43、47、(49)、71、73、(77)、79。(注:加括号的49、77不是素数。)
第七、八句:77、49、91这三个数不符合规律,不是素数,要特别注意〕
让学生记忆本顺口溜时还可作如下指导,可收到更好的记忆效果:
1、让学生领会到第三、四、五句中所提到的“二五八十”、“三六九十”、“一四七十”每组中的三个十位上数字都是“加3”递增的。
2、让学生意识到第七句的“七七四九”巧妙运用了乘法口诀“七七四十九”,把“77”和“49”这两个例外数连在一起,可加深对这两个例外数的准确记忆。
注意:阿拉伯数字是原有的,括号里面的是记忆方法(要念的)比如2(二)就是二 2(二)3(三)5(五)7(七)11(一十一还有)13(十三和)17(十七)19(十九)23(二十三)29(二十九)31(三一)37(三七)41(四十一)43(四【长音】十三)47(四十七)53(五三)59(五九)61(六十一)67(六十七)71(七十一)73(七三)79(七九没mò忘记100以内质数表还有)83(八三)89(八九)97(九十七)
连起来就是“二三五七一十一,还有十三和十七,十九二十三二十九,三一三七四十一, 四十三四十七五三五九六十一,六十三六十七七三七九没忘记,100以内质数表还有八三八九 九十七。
一百以内质数快速记忆法(一)
我背着二胡(25)上山植树(质数),看见兔子(2)在山(3)上和老虎(5)下棋(7),下雨了,兔子穿上雨衣(11)老虎打起了雨伞(13),一齐(17)喝药酒(19)。
这时,突然听见一声枪响,原来是鞍山(23)来的二舅(29)在山腰(31)上打山鸡(37),他穿着睡衣(41),拿着瓷砖(43),把死鸡(47)做成了午餐(53),送给了武警(59)。武警在楼梯(61)上给鸬鹚(67)吃药(71),它受了轻伤(73),是和气球(79)爬山(83)时摔的,多亏斑鸠(89)救起(97)了它。
一百以内质数快速记忆法(二)
(1)将一百以内25个质数分组排列如下,并提取个位数字。
2 3 5 7
11 13 17 19
23 29 31 37 41 43 47
53 59 61 67 71 73 79
83 89 97
(2)将25个质数的个位数字运用谐音法编成一首有趣的诗歌,题目在最下面。
鞍山武器(打前锋)
雨伞气球(随后跟)
三舅一起咬山去,
三舅一起咬山走。
三舅去
(3)背熟此诗后,运用谐音法按顺序写出每个质数的个位数字。然后再填上十位数字,规律是见到后面的数比前面的数小,就将十位数字加上一。
收起