已知▲ABC的三个顶点A（5,－1）B （1,1）C（2,m）,若△ABC时直角三角 形,求BC的方程.

已知▲ABC的三个顶点A（5,－1）B （1,1）C（2,m）,若△ABC时直角三角 形,求BC的方程.
已知▲ABC的三个顶点A（5,－1）B （1,1）C（2,m）,若△ABC时直角三角 形,求BC的方程.

已知▲ABC的三个顶点A（5,－1）B （1,1）C（2,m）,若△ABC时直角三角 形,求BC的方程.
分三种情况：向量AB的坐标为（-4,2）,AC的坐标为（-3,m+1）,BC的坐标为（1,m-1）
(1)当∠A为直角时,AB⊥AC,则-4*(-3)+2(m+1)=0,所以m=-7,即C点坐标为（2,-7）,所以BC的方程为8x+y-9=0
(2)当∠B为直角时,AB⊥BC,则-4*1+2(m-1)=0,所以m=3,即C点坐标为（2,3）,所以BC的方程为2x-y-1=0
(3)当∠C为直角时,AC⊥BC,则-3*1+(m+1)(m-1)=0,所以m=±2,即C点坐标为（2,±2）,所以BC的方程为x-y=0或3x+y-4=0

kAB=(1+1)/(1-5)=-1/2
kAC=(m+1)/(-3)
kBC=m-1
(1) B为直角，则
kAB*kBC=-1 m-1=2 m=3
kBC=2
BC的方程 y-1=2(x-1)
整理得 2x-y-1=0
(2) C为直角，则
kBC*kAC=-1 ...

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kAB=(1+1)/(1-5)=-1/2
kAC=(m+1)/(-3)
kBC=m-1
(1) B为直角，则
kAB*kBC=-1 m-1=2 m=3
kBC=2
BC的方程 y-1=2(x-1)
整理得 2x-y-1=0
(2) C为直角，则
kBC*kAC=-1 (m^2-1)/(-3)=-1 m^2=4 m=2或m=-2
m=2 kBC=1
BC的方程 y-1=x-1 整理得 x-y=0
m=-2 kBC=-3
BC的方程 y-1=-3(x-1) 整理得 3x+y-4=0
(3) A为直角，则
kAB*kAC=-1 (m+1)/6=-1 m=-7
kBC=-8
BC的方程 y-1=-8(x-1)
整理得 8x+y-9=0

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分类讨论
1）若角A为直角，则可得：AB^2+AC^2=BC^2
(5-1)^2+(-1-1)^2+(5-2)^2+(-1-m)^2=(2-1)^2+(m-1)^2
16+4+9+m^2+2m+1=1+m^2-2m+1
...

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分类讨论
1）若角A为直角，则可得：AB^2+AC^2=BC^2
(5-1)^2+(-1-1)^2+(5-2)^2+(-1-m)^2=(2-1)^2+(m-1)^2
16+4+9+m^2+2m+1=1+m^2-2m+1
4m=-28
m=-7， 得：C(2,-7)
设直线BC：y=kx+b
把 B(1,1)，C(2,-7)代入，得：1=k+b
-7=2k+b
解得：k=-8,b=9
所以，直线BC的方程为：y=-8x+9
2)若角B为直角，则可得：BC^2+BA^2=AC^2
解得：m=3
此时，直线BC的方程为：y=2x-1
3)若角C为直角，则可得：CA^2+CB^2=AB^2
解得：m=2 或 m=-2
若C(2,2)，则可得直线BC的方程为：y=x
若C(2,-2)，则可得直线BC的方程为：y=-3x+4

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令AB的直线方程：y=kx+b
代入A（5，－1）B （1,1）得
-1=5k+b,1=k+b
解得，k=-1/2,b=3/2
y=-1/2x+3/2
同理解得，
AC的直线方程为：y=-(m+1)/3x+(5m+2)/3
BC的直线方程为：y=(m-1)x+(2-m)
1、若AB⊥AC，则：-(m+1)/3=2
m=-7

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令AB的直线方程：y=kx+b
代入A（5，－1）B （1,1）得
-1=5k+b,1=k+b
解得，k=-1/2,b=3/2
y=-1/2x+3/2
同理解得，
AC的直线方程为：y=-(m+1)/3x+(5m+2)/3
BC的直线方程为：y=(m-1)x+(2-m)
1、若AB⊥AC，则：-(m+1)/3=2
m=-7
BC的直线方程为：y=-8x+9
2、若AB⊥BC，则：m-1=2
m=3
BC的直线方程为：y=2x-1
3、若AC⊥BC，则：-(m+1)/3=-1/(m-1)
m=±2
BC的直线方程为：y=x,或y=-3x+4

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