y=sinx+cosx+1/根号（1+|sin2x|）的最大值和最小值

y=sinx+cosx+1/根号（1+|sin2x|）的最大值和最小值
y=sinx+cosx+1/根号（1+|sin2x|）的最大值和最小值

y=sinx+cosx+1/根号（1+|sin2x|）的最大值和最小值
1+|sin2x|=|sinx|^2+2*|sinx|*|cosx|+|cos|^2=(|sinx|+|cos|)^2
√(1+|sin2x|)=|sinx|+|cosx|
1

求导数 查看有几个零点 对一阶导数再求导数 另二阶导数为零 得到最大值和最小值

1+|sin2x|=|sinx|^2+2*|sinx|*|cosx|+|cos|^2=(|sinx|+|cos|)^2
根号(1+|sin2x|)=|sinx|+|cosx|
y=(sinx+cosx)/根号(1+|sin2x|)
=(sinx+cosx)/(|sinx|+|cosx|)
当sinx>0，cosx>0，即x为第一象限角时，y有最大值 ：1；
当sinx<0，cosx<0，即x为第三象限角时，y有最小值 ：-1。

f(x)=（sinx+cosx+1)/√(1+|sin2x|）的最大值和最小值
原式＝(sinx+cosx+1)/√(│sinx│+│cosx│)²=(sinx+cosx+1)/(│sinx│+│cosx│)
因为含有绝对值符号，必须分段打开绝对值符号才能用导数求极值。
（一）x的终边在第一象限时：│sinx│=sinx. │cosx│=cosx,因此：

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f(x)=（sinx+cosx+1)/√(1+|sin2x|）的最大值和最小值
原式＝(sinx+cosx+1)/√(│sinx│+│cosx│)²=(sinx+cosx+1)/(│sinx│+│cosx│)
因为含有绝对值符号，必须分段打开绝对值符号才能用导数求极值。
（一）x的终边在第一象限时：│sinx│=sinx. │cosx│=cosx,因此：
f(x)=(sinx+cosx+1)/(sinx+cosx)
令f′(x)=[(sinx+cosx)(cosx-sinx)-(sinx+cosx+1)(cosx-sinx)]/(sinx+cosx)²=0
得(cos²x-sin²x)-(cos²x-sin²x+cosx-sinx)＝-cosx+sinx=0 从而得tanx=1, 于是得驻点x=π/4
f(π/4)=(√2/2+√2/2+1)/(√2/2+√2/2)=(√2+1)/√2=(2+√2)/2....................(1)
(二）x的终边在第二象限时：│sinx│=sinx; │cosx│=-cosx,故有
f(x)=(sinx+cosx+1)/(sinx-cosx)
令f′(x)=[(sinx-cosx)(cosx-sinx)-(sinx+cosx+1)(cox+sinx)]/(sinx-cosx)²=0
得 (sin2x-1)-(1+sin2x+cosx+sinx)=-2-cosx-sinx=0,即有sinx+cosx=(√2)sin(x+π/4)=-2
sin(x+π/4)=-2/√2=-√2. 故此段无解（即导数无零点）
(三）x的终边在第三象限时：│sinx│=-sinx; │cosx│=-cosx.于是
f(x)=(sinx+cosx+1)/[-(sinx+cosx)]
令f′(x)=[-(sinx+cosx)(cosx-sinx)-(sinx+cosx+1)(-cosx+sinx)]/[-(sinx+cosx)]²=0
得 sin²x-cos²x-(sin²x-cos²x+sinx-cosx)=-sinx+cosx=0,故有tanx=1, 从而得驻点x=π+π/4=5π/4
f(5π/4)=(-√2/2-√2/2+1)/[-(-√2/2-√2/2)]=(1-√2)/√2=(√2-2)/2...............(2)
(四）x的终边在第四象限时：│sinx│=-sinx; │cosx│=cosx, 此时
f(x)=(sinx+cosx+1)/(sinx-cosx)
令f′(x)=[(sinx-cosx)(cosx-sinx)-(sinx+cosx+1)(cosx+sinx)]/(sinx-cosx)²=0
得 -(sinx-cosx)²-(sinx+cosx)²-cosx-sinx=-2-cosx-sinx=0
即有sinx+cosx=(√2)sin(x+π/4)=-2; sin(x+π/4)=-2/√2=-√2, 此段无解。
由（1）(2)可知：maxf(x)=f(π/4)=(2+√2)/2; minf(x)=f(5π/4)=(√2-2)/2.
【因为只要求求最大最小值，故只须考虑一个周期就够了。】

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