f(x)=(x-1)(x-2)(x-3).(x-2010),则f(2010)的导数=?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 10:11:45
f(x)=(x-1)(x-2)(x-3).(x-2010),则f(2010)的导数=?
f(x)=(x-1)(x-2)(x-3).(x-2010),则f(2010)的导数=?
f(x)=(x-1)(x-2)(x-3).(x-2010),则f(2010)的导数=?
令：f(x)=(x-1)(x-2)(x-3).(x-2010)=g(x)(x-2010);其中g(x)=(x-1)(x-2)(x-3).(x-2009);
则：f '(x)=g '(x)(x-2010)+g(x);
所以：f '(2010)=g '(2010)(2010-2010)+g(2010)=0+2009!=2009!;
注意到f(2010)=0
x→2010时，有f'(2010)= lim (f(x)-f(2010))/(x-2010) = lim f(x)/(x-2010)
=lim (x-1)(x-2)(x-3)....(x-2010)/(x-2010)
=lim (x-1)(x-2)(x-3)....(x-2009)
= (2010-1)(2010-2)...(2010-2009)
=2009 * 2008 * ... * 1
=2009!
令g(x)=(x-1)(x-2)……(x-2009)
则f(x)=g(x)*(x-2010)
f(x)导=g(x)导×（x－2010）＋g(x)
f（2010）导＝g(2010)=2009的阶层
f'(x)=(x-2)(x-3)...(x-2010)+(x-1)(x-3)(x-4)(x-2010)+....(x-1)(x-2)(x-3)..(x-2009)
f'(2010)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)....(x-2009)=2009*2008*2007*2006*2005...*1=2009!
对f（x）求导，凡是有（x-2010）的F（2010）的倒数为0；
只剩下一项，即f(2010)'=(2010-1)*(2010-2）*.....*（2010-2009）
=2009*2008*2007*.....1
=2009!