设ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A=60度,c=3b.求：（1）a/c的值（2）cotB+cotC的值

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 03:00:22
设ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A=60度,c=3b.求：（1）a/c的值（2）cotB+cotC的值设ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A=60度,c=3b.求：

设ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A=60度,c=3b.求：（1）a/c的值（2）cotB+cotC的值
设ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A=60度,c=3b.求：
（1）a/c的值
（2）cotB+cotC的值

设ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A=60度,c=3b.求：（1）a/c的值（2）cotB+cotC的值
设b=x,则c=3x
方法一:
用余弦定理:
根据余弦定理得:
a²=b²+c²-2*bc*cosA
=x²+9x²-3x²
=7x²
a=(根号7)*x
a:c=(根号7)*x:3x=根号7比3
方法二:
过B作BD垂直AC,交AC延长线于D.
AD=(1/2)*AB=1.5x
BD=(2分之根号3)*AB=(2分之根号3)*3x
CD=AD-AC=0.5x
直角三角形ACD中,根据勾股定律得:
AC²=CD²+AD²
=(0.5x)²+[2分之根号3)*3x]²
=7x²
c=AC=(根号7)*x
a:c=(根号7)*x:3x=根号7比3
三角形中有a/sinA=b/sinB=c/sinC,
所以该题a/sin60`=b/sinB=c/sinC.
而c=3b,
所以有sinC =3sinB,
而A+B+C=180,A=60,
所以B+C=120
sinC=3sin(120-C),
展开得cosC/sinC=5/根号3,即cotC
sin(120-B)=3sinB,
展开得cosB/sinB=7/根号3,即cotB
所以cotB+cotC=12/根号3

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