设实对称矩阵A满足(A-E)(A²+E)=0证明A=E

设实对称矩阵A满足(A-E)(A²+E)=0证明A=E
设实对称矩阵A满足(A-E)(A²+E)=0证明A=E

设实对称矩阵A满足(A-E)(A²+E)=0证明A=E
因为 (A-E)(A²+E)=0
所以A的特征值a满足 (a-1)(a^2+1)=0
由于实对称矩阵的特征值都是实数
所以a=1
故A的特征值为1,1,.,1
又因为实对称矩阵可对角化
所以 A=Pdiag(1,1,...,1)P^-1 = PEP^-1 = E