已知数列{an}的通项an=1/(n+1)^2,(n∈N),记bn=(1-a1)(1-a2)…(1-an)1.写出数列{bn}的前三项2.猜想数列{bn}通项公式,并加以证明3.令pn=bn-b(n+1)【括号内为下标】,求lim(p1+p2+p3+…+pn)的值谢谢~~具体过程
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/15 01:40:31
已知数列{an}的通项an=1/(n+1)^2,(n∈N),记bn=(1-a1)(1-a2)…(1-an)1.写出数列{bn}的前三项2.猜想数列{bn}通项公式,并加以证明3.令pn=bn-b(n+1)【括号内为下标】,求lim(p1+p2+p3+…+pn)的值谢谢~~具体过程
已知数列{an}的通项an=1/(n+1)^2,(n∈N),记bn=(1-a1)(1-a2)…(1-an)
1.写出数列{bn}的前三项
2.猜想数列{bn}通项公式,并加以证明
3.令pn=bn-b(n+1)【括号内为下标】,求lim(p1+p2+p3+…+pn)的值
谢谢~~具体过程
已知数列{an}的通项an=1/(n+1)^2,(n∈N),记bn=(1-a1)(1-a2)…(1-an)1.写出数列{bn}的前三项2.猜想数列{bn}通项公式,并加以证明3.令pn=bn-b(n+1)【括号内为下标】,求lim(p1+p2+p3+…+pn)的值谢谢~~具体过程
1.b1=1-a1=3/4
b2=(1-a1)(1-a2)=3/4*8/9=2/3
b3=(1-a1)(1-a2)=3/4*8/9*15/16=5/8
2.bn=(n+2)/2(n+1)
1-an=(n^2-1)/n^2=(n+1)(n-1)/n^2
bn=(1*3/2^2)*(2*4/3^2)*……*[n(n+2)/(n+1)^2]=(n+2)/2(n+1)
数学归纳法证:n=1时b1=3/4
设n=k时成立,则n=k+1时
b(k+1)=bk*(1-a(k+1))
=(k+2)/2(k+1)*(k+1)(k+3)/(k+2)^2
=(k+3)/2(k+2),得证
3.是n趋于无穷的极限吧?
p1+p2+p3+…+pn=b1-b2+……+bn-b(n+1)=b1-b(n+1)
lim(p1+p2+p3+…+pn)
=lim[b1-b(n+1)]
=b1-lim[b(n+1)]
=3/4-1/2
=1/4