)已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2.已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,短轴两个端点为A、B,且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.(1)求椭圆的方程(2)若C,D分别是椭圆
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 09:05:59
)已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2.已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,短轴两个端点为A、B,且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.(1)求椭圆的方程(2)若C,D分别是椭圆
)已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2.
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,短轴两个端点为A、B,且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.
(1)求椭圆的方程
(2)若C,D分别是椭圆长轴的左,右端点,动点M满足MD⊥CD,连结CM,交椭圆与点P,证明：向量OM·向量OP为定值
(3)在(2)的条件,试问X轴上是否存在异于点C的定点Q,使得以MP为直径的圆恒过直线DP,MQ的交点,若存在,求出点Q的坐标；若不存在,说明理由.
)已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2.已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,短轴两个端点为A、B,且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.(1)求椭圆的方程(2)若C,D分别是椭圆
(1)由题意知F1A=2,即a=2,OA=OF1=根号2,b=c=根号2,
所以椭圆方程为 x^2/4+y^2/2=1
(2)设点M的坐标为(2,Ym),点P的坐标为(Xp,Yp),满足 Xp^2/4+Yp^2/2=1.
由于M,P是在x轴的同一侧,所以Ym,Yp同正同负,已知MD⊥CD,过点P做线段垂直于x轴,根据三角形相似比,得到Yp/Ym=(Xp+2)/4,Ym=4Yp/(Xp+2)
向量OM点乘向量OP
=(2,Ym)(Xp,Yp)
=2Xp+YmYp
=2Xp+4Yp/(Xp+2)*Yp
=2Xp+(8-2Xp^2)/(Xp+2)
=(8+4Xp)/(Xp+2)=4
(3)设直线DP,MQ的交点为点N,MP为直径的圆恒过点N,即角PNM=90,即DP与MQ互相垂直.
点M的坐标为(2,Ym),点P的坐标为(Xp,Yp),点D的坐标为(2,0),点Q的坐标为(X0,0)
向量DP点乘向量QM
=(Xp-2,Yp)(2-X0,Ym)
=(Xp-2)(2-X0)+YpYm
=(Xp-2)(2-X0)+4Yp/(Xp+2)*Yp
=(Xp-2)(2-X0)+2(2-Xp)
=-X0(Xp-2)=0
动点M,连结CM,交椭圆与点P,所以点P也是动点,所以X0=0,点Q的坐标为(0,0)