一个边长为5的正方形,以每个顶点为圆心,以正方形的边长为半径画圆,求四个圆相交部分的面积
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/31 12:31:38
一个边长为5的正方形,以每个顶点为圆心,以正方形的边长为半径画圆,求四个圆相交部分的面积
一个边长为5的正方形,以每个顶点为圆心,以正方形的边长为半径画圆,求四个圆相交部分的面积
一个边长为5的正方形,以每个顶点为圆心,以正方形的边长为半径画圆,求四个圆相交部分的面积
如图,显然E、F为弧DB的三分点,DCF为等边三角形,EC为DF的垂直平分线.
FG=FC/2=5/2, EG=EC-GC=5-5×√3/2,
EF=√(FG²+EG²)=√[(5/2)²+(5-5√3/2)²]=5√(2-√3).
S红色=EF²=25(2-√3).
S绿色=S扇形CEF-△CEF=1/12×п×EC²-1/2×EC×FG=25п/12-25/4.
四个圆相交部分的面积=S红色+4×S绿色=25(2-√3)+4×(25п/12-25/4)=25(1+п/3-√3).
图形FED面积=扇形FDC面积-三角形FDC面积=1/6乘以圆周率乘以25-DC乘以DC乘以二分之根号3 图形AFED面积=扇形DAF面积-图形FED面积 所求面积=大正方形面积-4个这样的AFED图形面积 方法给出了，运算还是让你们来
初中方法：
[U1]
先证明：弧DE=弧EF=弧FB
过F作垂直BC的垂线FF*，则FF*=5/2=1/2AB=1/2FC
则，Rt三角形FF*C中，∠FCF*=30°
由对称关系：∠DCE=∠FCB=∠FCF*=30°
则：∠ECF=∠DCB-∠DCE-∠FCB=30°
也即：∠ECF=∠DCE=∠FCB
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初中方法：
[U1]
先证明：弧DE=弧EF=弧FB
过F作垂直BC的垂线FF*，则FF*=5/2=1/2AB=1/2FC
则，Rt三角形FF*C中，∠FCF*=30°
由对称关系：∠DCE=∠FCB=∠FCF*=30°
则：∠ECF=∠DCB-∠DCE-∠FCB=30°
也即：∠ECF=∠DCE=∠FCB
又：DC=EC=FC=BC
那么必有：弧DE=弧EF=弧FB[U2]
得证。
弧EF=1/3弧DB=1/3*1/4*2piR=5pi/6
那么由面积弧长公式
S总=4*S=4*1/2*弧EF*R[U3]
=piR2[U4] /3
=25pi/3
大学方法：
Matlab程序：
clear;
syms x;
F=int(sqrt(abs(25-x.^2)),x,5/2,5*sqrt(3)/2);
ans=4*F
运行结果：
ans =
(25*pi)/3 + (25*3^(1/2))/2 - (5*75^(1/2))/2
也是
[U1]辅助线没做啊
[U2]全等关系
[U3]面积公式S=1/2LR
[U4]R的平方
收起