已知函数f(x)=2x-a/x(a为实数)的定义域为(0,1】(a为实数) 证明它的单调性.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 08:33:10
已知函数f(x)=2x-a/x(a为实数)的定义域为(0,1】(a为实数) 证明它的单调性.
已知函数f(x)=2x-a/x(a为实数)的定义域为(0,1】(a为实数) 证明它的单调性.
已知函数f(x)=2x-a/x(a为实数)的定义域为(0,1】(a为实数) 证明它的单调性.
f(x)=2x-a/x(a为实数)的定义域为(0,1】(a为实数)
令0<x1<x2≤1
f(x2)-f(x1) = 【2x2-a/x2】-【2x1-a/x1】
= 2(x2-x1) + a(1/x1-1/x2)
= 2(x2-x1) + a(x2-x1)/(x1x2)
= (x2-x1)(2x1x2+a)/(x1x2)
∵x1<x2,∴x2-x1>0
∵0<x1<x2,∴x1x2>0
∵0<x1<x2≤1,∴0<x1x2<1
当a≥0时,2x1x2+a>0恒成立,此时f(x2)-f(x1)= (x2-x1)(2x1x2+a)/(x1x2)>0,f(x)在(0,1】单调增;
当a≤-2时,2x1x2+a<0恒成立,此时f(x2)-f(x1)= (x2-x1)(2x1x2+a)/(x1x2)<0,f(x)在(0,1】单调减;
当-2<a<0时,f(x)在(0,1】非单调.
函数f(x)=2x-a/x,可看成是函数G(x)=2x,和K(x)=-a/x,相加复合而成,
G(x)=2x在定义区间内为增函数,
若a大于等于0,则K(x)=-a/x,在定义区间为常数或增函数,
所以增函数与常数或与增函数之和仍为增函数。
若a小于0,而大于-2时,时间有限,我暂时想不出。
若a大于等于-2时,为减函数。
现在我在想,是不是从函数求...
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函数f(x)=2x-a/x,可看成是函数G(x)=2x,和K(x)=-a/x,相加复合而成,
G(x)=2x在定义区间内为增函数,
若a大于等于0,则K(x)=-a/x,在定义区间为常数或增函数,
所以增函数与常数或与增函数之和仍为增函数。
若a小于0,而大于-2时,时间有限,我暂时想不出。
若a大于等于-2时,为减函数。
现在我在想,是不是从函数求导数来研究它的单调性。
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你的题设让人产生歧义,所以有两个答案
①f(x)=2x-a/x 设 m、n 是 定义域的两个根,且 0<m<n≤1
令f(m)-f(n)=2m-a/m - (2n-a/n )=2(m-n)+a(1/n-1/m)=(m-n)(2+a/mn) ,可知m-n<0 ;1/mn>1
当a≥0时f(m)-f(n)<0 即 f(m)<f(n) 所以f(x)为单调递增
当a...
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你的题设让人产生歧义,所以有两个答案
①f(x)=2x-a/x 设 m、n 是 定义域的两个根,且 0<m<n≤1
令f(m)-f(n)=2m-a/m - (2n-a/n )=2(m-n)+a(1/n-1/m)=(m-n)(2+a/mn) ,可知m-n<0 ;1/mn>1
当a≥0时f(m)-f(n)<0 即 f(m)<f(n) 所以f(x)为单调递增
当a<0时f(m)-f(n)=(m-n)(2+a/mn) 我做到这里不会做了,不好意思。仅供参考
②f(x)=(2x-a)/x=2 - ax
这个比较简单显然-1/X是单调递增的 只要讨论a就行了。
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