实数α,β是二次函数y=x^2-2mx+m+6的图像与x轴的交点的横坐标,求（α-1)^2+(β-1）^2的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 21:36:17
实数α,β是二次函数y=x^2-2mx+m+6的图像与x轴的交点的横坐标,求（α-1)^2+(β-1）^2的最小值
实数α,β是二次函数y=x^2-2mx+m+6的图像与x轴的交点的横坐标,求（α-1)^2+(β-1）^2的最小值
实数α,β是二次函数y=x^2-2mx+m+6的图像与x轴的交点的横坐标,求（α-1)^2+(β-1）^2的最小值
α,β是二次函数y=x^2-2mx+m+6的图像与x轴的交点的横坐标,△>=0
4m²-4m-24>=0
m>=3或m<=-2
α+β=2m
αβ=m+6
（α-1)²+(β-1)²
=α²+β²-2(α+β)+2
=(α+β)²-2αβ-2(α+β)+2
=4m²-2(m+6)-4m+2
=4m²-6m-10
=4(m-3/4)²-49/4
当m=3时,（α-1)²+(β-1)²=4(m-3/4)²-49/4取到最小值
最小值=8
由于实数α，β是二次函数y=x^2-2mx+m+6的图像与x轴的交点的横坐标
则α+β=2m
同时α^2-2mα+m+6=0
β^2-2mβ+m+6=0
那么（α-1)^2+(β-1）^2=α^2+β^2-2（α+β）+2
=2m(α+β)-2(m+6)-2（α+β）+2
=4m²-6m-10=（2m-3/2）²-49/4
全部展开
由于实数α，β是二次函数y=x^2-2mx+m+6的图像与x轴的交点的横坐标
则α+β=2m
同时α^2-2mα+m+6=0
β^2-2mβ+m+6=0
那么（α-1)^2+(β-1）^2=α^2+β^2-2（α+β）+2
=2m(α+β)-2(m+6)-2（α+β）+2
=4m²-6m-10=（2m-3/2）²-49/4
由于函数与Y轴有两个交点
则有（2m）²-4（m+6）=4m²-4m-24>=0
所以又m<=-2或m>=3
所以最小值是m=3取最小值8
收起