数列｛an｝的前n项和为Sn,an>0,且Sn=1/6*（an+1）（an+2）,其中a2,a4 ,a9成等比数列.（1）求an （2）设bn=（-1）的n+1次方*an*an+1 ,求｛bn｝的前n项和Tn.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/28 19:49:13
数列｛an｝的前n项和为Sn,an>0,且Sn=1/6*（an+1）（an+2）,其中a2,a4 ,a9成等比数列.（1）求an （2）设bn=（-1）的n+1次方*an*an+1 ,求｛bn｝的前n项和Tn.
数列｛an｝的前n项和为Sn,an>0,且Sn=1/6*（an+1）（an+2）,其中a2,a4 ,a9成等比数列.
（1）求an
（2）设bn=（-1）的n+1次方*an*an+1 ,求｛bn｝的前n项和Tn.
数列｛an｝的前n项和为Sn,an>0,且Sn=1/6*（an+1）（an+2）,其中a2,a4 ,a9成等比数列.（1）求an （2）设bn=（-1）的n+1次方*an*an+1 ,求｛bn｝的前n项和Tn.
（1）由已知Sn=1/6（an+1）（an+2）
得S{n}=1/6 a{n}²+1/2 a{n}+1/3——①
∴S{n+1}=1/6 a{n+1}²+1/2 a{n+1}+1/3——②
②﹣①得
a{n+1}=1/6【a{n+1}²﹣a{n}²】+½【a{n+1}﹣a{n}】——③
移项,并用平方差公式得
0=1/6【a{n+1}+a{n}】【a{n+1}﹣a{n}】—½【a{n+1}+a{n}】
分解因式得
【a{n+1}+a{n}】【1/6 a{n+1}﹣1/6 a{n}﹣½】=0——④
∴a{n+1}+a{n}=0——⑤,由a{n}＞0,⑤舍去
或1/6 a{n+1}﹣1/6 a{n}﹣½=0
即a{n+1}=a{n}+3——⑥
⑥式说明{an}是以3为公差的等差数列,故a{n}=3(n-1)+a1——⑦
又由a2,a4,a9成等比数列得
a4²=a2×a9
即（9+a1）²=（3+a1）（24+a1）——⑧
解关于a1的方程⑧得a1=1（它也满足方程①）
∴a{n}=3n﹣2
（2）b{n}=(-1) ^(n+1)×an² +1=(-1) ^(n+1)×（3n﹣2）²+1
=(-1) ^(n+1)×（9n²﹣12n+4）+1——⑨
求和,Tn=9∑(-1)^ (n+1)×n² ﹣12∑(-1) ^(n+1)×n +4∑(-1)^(n+1) +n——⑩
第一个和式等于9（1﹣2²+3²﹣……）；第二个和式等于﹣12（1﹣2+3﹣4+5﹣……）
1）n为奇数
第一个和式为9【1+（3²﹣2²）+（5²﹣4²）+……+（n²﹣(n-1)²）】
=9（1+5+9+13+……+2n﹣1）
=9/2×n（n+1）
第二个和式为﹣12【1+（3﹣2）+（5﹣4）+……+（n﹣(n-1)）】
=﹣12×1×½（n+1）=﹣6（n+1）
此时Tn=9/2×n（n+1）﹣6（n+1）+4+n=9/2 n²﹣½n﹣2
2）n为偶数
用同样的方法得Tn=9/2×n（n+1）﹣6n+n
=9/2 n²﹣½n
呀