如图,已知圆G:(x-2)^2+y^2=r^2是椭圆x^2/16+y^2=1的内接△ABC的内切圆,A为椭圆的左顶点,(1)求圆G的半径r?(2)过点M(0,1)作圆G的两条切线交椭圆于EF两点,证明：直线EF与圆G相切.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 00:40:02
如图,已知圆G:(x-2)^2+y^2=r^2是椭圆x^2/16+y^2=1的内接△ABC的内切圆,A为椭圆的左顶点,(1)求圆G的半径r?(2)过点M(0,1)作圆G的两条切线交椭圆于EF两点,证明：直线EF与圆G相切.
如图,已知圆G:(x-2)^2+y^2=r^2是椭圆x^2/16+y^2=1的内接△ABC的内切圆,A为椭圆的左顶点,
(1)求圆G的半径r?
(2)过点M(0,1)作圆G的两条切线交椭圆于EF两点,证明：直线EF与圆G相切.
如图,已知圆G:(x-2)^2+y^2=r^2是椭圆x^2/16+y^2=1的内接△ABC的内切圆,A为椭圆的左顶点,(1)求圆G的半径r?(2)过点M(0,1)作圆G的两条切线交椭圆于EF两点,证明：直线EF与圆G相切.
设B（2+r,yB）,C（2+r,-yB）
AB直线 方程：k（x+4）-y=0,
G点(2,0)到AB的距离为r,
|k（2+4）|=r*√(k^2+1),得k^2=r^2/(36-r^2).1
k=yB/(xB+4)=yB/(6+r).2
yB^2=1-xB^2/16.3
由2式3式,得k^2=[1-(2+r)^2/16]/(6+r)^2...4
由1式和4式得r^2/(36-r^2)=〔1-(2+r)^2/16]/(6+r)^2
r^2/(6-r)=1/16[(6+r)(2-r)/(6+r)]
16r^2=(6-r)(2-r)
15r^2+8r-12=0,(5r+6)(3r-2)=0
得r=2/3,（r=-6/5舍去）
(1)r=2/3(r=-6/5舍）过程较简单，我不说了
(2)ME,MF皆可设为y=kx+1,则kx-y+1=0
圆心G到ME,MF距离为|2k+1|/根号k^2+1=2/3,所以(4k^2+4k+1)/(k^2+1)=4/9,所以32k^2+36k+5=0
设ME，MF斜率为k1,k2;k1+k2=-9/8,k1k2=5/32
E(x1,k1x...
全部展开
(1)r=2/3(r=-6/5舍）过程较简单，我不说了
(2)ME,MF皆可设为y=kx+1,则kx-y+1=0
圆心G到ME,MF距离为|2k+1|/根号k^2+1=2/3,所以(4k^2+4k+1)/(k^2+1)=4/9,所以32k^2+36k+5=0
设ME，MF斜率为k1,k2;k1+k2=-9/8,k1k2=5/32
E(x1,k1x1+1),F(x2,k2x2+1)，所以EF斜率=(k2x2-k1x1)/(x2-x1)
联立方程组y=k1x+1,x^2+16y^2=16得到x^2+16(k1x+1)^2=16
(1+16k1^2)x^2+32k1x=0,x1=(-32k1)/(16k1^2+1),所以y1=(-32k1^2)/(16k1^2+1)+1
同理联立方程组y=k2x+1,x^2+16y^2=16得到x2=(-32k2)/(16k2^2+1),y2=(-32k2^2)/(16k2^2+1)+1
EF中点（（-16k1)/(16k1^2+1)+(-16k2)/(16k2^2+1),(-16k1^2)/(16k1^2+1)+(-16k2^2)/(16k2^2+1)+1
EF斜率=[(-32k2^2)/(16k2^2+1)+(32k1^2)/(16k1^2+1)]/[-32k2/(16k2^2+1)+32k1/(16k1^2+1)]=3/4
EF方程:y-[-16k1^2/(16k1^2+1)-16k2^2/(16k2^2+1)+1]=3/4{x-[-16k1/(16k1^2+1)-16k2/(16k2^2+1)]}
y-3/4x=[12*16k1k2(k1+k2)+12(k1+k2)-256k1^2*k2^2+1]/{256k1^2*k2^2+16[(k1+k2)^2-2k1k2]+1}
将k1+k2,k1k2值代入：y-3/4x=-7/3,
3/4x-y-7/3=0
圆心G（0,2）到EF距离为|3/2-7/3|/根号（3/4)^2+1=2/3
因为r=2/3
所以直线EF与圆G相切
收起