已知{an}是等差数列,其前n项和为sn,{bn}是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,s4-b4=10问:记Tn=anb1+an-1b2+...+a1bn,证明Tn+12=-2an+10bn (n∈N+)
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/26 05:50:01
已知{an}是等差数列,其前n项和为sn,{bn}是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,s4-b4=10问:记Tn=anb1+an-1b2+...+a1bn,证明Tn+12=-2an+10bn (n∈N+)
已知{an}是等差数列,其前n项和为sn,{bn}是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,s4-b4=10
问:记Tn=anb1+an-1b2+...+a1bn,证明Tn+12=-2an+10bn (n∈N+)
已知{an}是等差数列,其前n项和为sn,{bn}是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,s4-b4=10问:记Tn=anb1+an-1b2+...+a1bn,证明Tn+12=-2an+10bn (n∈N+)
∵a4+b4=27,s4-b4=10 ∴a4+S4=37 ∴a4+2a1+2a4=37 ∴2a1+3a4=37
∴5a1+9d=37 ∴9d=27 ∴d=3 ∴an=a1+(n-1)d=3n-1
∵a4+b4=27 ∴11+2q³=27 ∴q³=8 ∴q=2 ∴bn=b1q^(n-1)=2^n
∵Tn=anb1+an-1b2+...+a1bn ∴2Tn=anb2+an-1b3+...+a2bn+a1bn+1
两式相减得:Tn=(an-an-1)b2+(an-1-an-2)b3+...+(a2-a1)bn+a1bn+1-anb1
=3(b2+b3+...+bn)+a1bn+1-anb1
=3×2²[2^(n-1)-1]+2×2^(n+1)-2an
=3×2×2^n-12+4×2^n-2an
=6bn-12+4bn-2an
∴Tn=10bn-12-2an 即 Tn+12=﹣2an+10bn
a1=b1=2为啥呀