已知抛物线c:x^2=-2(y-m),点a、b及p(2,4)均在抛物线上,且直线PA与PB的倾斜角互补(1)求证:直线AB斜率为定值(2)当直线AB在y轴上的截距为正值时.求S△ABP的最大值
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 20:38:01
已知抛物线c:x^2=-2(y-m),点a、b及p(2,4)均在抛物线上,且直线PA与PB的倾斜角互补(1)求证:直线AB斜率为定值(2)当直线AB在y轴上的截距为正值时.求S△ABP的最大值
已知抛物线c:x^2=-2(y-m),点a、b及p(2,4)均在抛物线上,且直线PA与PB的倾斜角互补
(1)求证:直线AB斜率为定值
(2)当直线AB在y轴上的截距为正值时.求S△ABP的最大值
已知抛物线c:x^2=-2(y-m),点a、b及p(2,4)均在抛物线上,且直线PA与PB的倾斜角互补(1)求证:直线AB斜率为定值(2)当直线AB在y轴上的截距为正值时.求S△ABP的最大值
【1】证明:①∵点P(2,4)在抛物线y=(-1/2)x ²+h上,∴4=(-1/2)×2 ²+h..
∴h=6.
∴抛物线y=(-1/2)x ²+6.
②∵点A,B均在该抛物线上,故可设其坐标为A(2a,6-2a ²),B(2b,6-2b ²).(a≠b).
③由题设可知,若直线PA的倾斜角为β,则直线PB的倾斜角为π-β
∴由斜率公式可知,Kpa=tanβ.Kpb=tan(π-β)=-tanβ.
∴Kpa+Kpb=0.即两条直线PA与PB的斜率之和为0.
又由斜率公式可得:Kpa=(2-2a ²)/(2a-2)= -(a+1).
Kpb=(2-2b ²)/(2b-2)= -(b+1).
∴[-(a+1)]+[-(b+1)]=0.∴a+b=-2.
④由斜率公式可得:Kab=[(6-2a ²)-(6-2b ²)]/(2a-2b)=(b ²-a ²)/(a-b)=-(a+b)=2.
∴直线AB的斜率恒为定值2.
①∵直线AB的斜率为2,故可设其“斜截式方程”为:y=2x+t.
又直线AB的纵截距为正,∴t>0.
联立抛物线方程y=(-1/2)x ²+6与直线方程y=2x+t.,整理可得:
x ²+4x+2(t-6)=0.
∴判别式⊿=16-8(t-6)=8(8-t) >0.∴0<t<8.
②由“圆锥曲线弦长公式”可知,弦|AB|=√[40(8-t)].
再由“点到直线的距离公式”可知,点P(2,4)到直线AB:y=2x+t的距离d为:
d=t/(√5).
∴三角形⊿PAB的面积S=(1/2) ×|AB|×d=(1/2) ×√[40(8-t)] ×t/(√5).
=√[2t²(8-t)]= √[2(-t³+8t²)].
③现在来求函数f(t)=-t³+8t²,(0<t<8)的最大值.
求导可得f′(t)=-3t ²+16t.=-t(3t-16).
易知,在区间(0,8)上,当0<t<16/3时,有f′(t) >0.
当16/3<t<8时,有f′(t) <0.
∴由“函数单调性与其导数正负的关系”可知,
函数f(t)在t=16/3时取得最大值.∴当t=16/3时,⊿PAB的面积最大.
④当t=16/3时,由S=√[2t ²(8-t)]可得:S=(64√3)/9.
即⊿PAB面积的最大值为(64√3)/9.
希望可以明白哦~
点P(2,4),在抛物线上,代入得m=6, x^2=-2y+12 (1)
设A,B两点坐标分别(x1,y1),(x2,y2)
x1^2=-2y1+12 -- (2)
x2^2=-2y2+12 -- (3)
点差法,(2)-(3) 得: (x1-x2)(x1+x2)=-2(y1-y2)
(y1-y2) / (x1-x2)=-(x1+x2)/2...
全部展开
点P(2,4),在抛物线上,代入得m=6, x^2=-2y+12 (1)
设A,B两点坐标分别(x1,y1),(x2,y2)
x1^2=-2y1+12 -- (2)
x2^2=-2y2+12 -- (3)
点差法,(2)-(3) 得: (x1-x2)(x1+x2)=-2(y1-y2)
(y1-y2) / (x1-x2)=-(x1+x2)/2
k_AB=-(x1+x2)/2 ---(4)
设PA,PB的斜率为k1,k2,点斜式写两者的方程
y-4=k1(x-2) 与(1)联立,则有
x^2+2k1x-4k-4=0
根据韦达定理
2+x1=-2k1
同理 2+x2=-2k2
相加,得x1+x2+4=-2(k1+k2)
根据题意,PA,PB倾斜角互补,则有k1+k2=0
则 x1+x2=-4, 代入(4)得
k_(AB)=2.
(2)第二问没那么难,注意PO的斜率正好是2,自己研究一下,AB过抛物线顶点时,题设中面积最大。太晚了,我也偷闲一下,不懂再问。
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题目不一样答案是一样的 先看看吧
【1】证明:①∵点P(2,4)在抛物线y=(-1/2)x 2+h上,∴4=(-1/2)×2 2+h..
∴h=6.
∴抛物线y=(-1/2)x 2+6.
②∵点A,B均在该抛物线上,故可设其坐标为A(2a,6-2a 2),B(2b,6-2b 2). (a≠b).
③由题设可知,若直线PA的倾斜角为β,则直线PB的倾斜角为π-...
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题目不一样答案是一样的 先看看吧
【1】证明:①∵点P(2,4)在抛物线y=(-1/2)x 2+h上,∴4=(-1/2)×2 2+h..
∴h=6.
∴抛物线y=(-1/2)x 2+6.
②∵点A,B均在该抛物线上,故可设其坐标为A(2a,6-2a 2),B(2b,6-2b 2). (a≠b).
③由题设可知,若直线PA的倾斜角为β,则直线PB的倾斜角为π-β
∴由斜率公式可知,Kpa=tanβ.Kpb=tan(π-β)=-tanβ.
∴Kpa+Kpb=0.即两条直线PA与PB的斜率之和为0.
又由斜率公式可得:Kpa=(2-2a 2)/(2a-2)= -(a+1).
Kpb=(2-2b 2)/(2b-2)= -(b+1).
∴[-(a+1)]+[-(b+1)]=0. ∴a+b=-2.
④由斜率公式可得:Kab=[(6-2a 2)-(6-2b 2)]/(2a-2b)=(b 2-a 2)/(a-b)=-(a+b)=2.
∴直线AB的斜率恒为定值2.
【2】①∵直线AB的斜率为2,故可设其“斜截式方程”为:y=2x+t.
又直线AB的纵截距为正,∴t>0.
联立抛物线方程y=(-1/2)x 2+6与直线方程y=2x+t.,整理可得:
x 2+4x+2(t-6)=0.
∴判别式⊿=16-8(t-6)=8(8-t) >0. ∴0<t<8.
②由“圆锥曲线弦长公式”可知,弦|AB|=√[40(8-t)].
再由“点到直线的距离公式”可知,点P(2,4)到直线AB:y=2x+t的距离d为:
d=t/(√5).
∴三角形⊿PAB的面积S=(1/2) ×|AB|×d=(1/2) ×√[40(8-t)] ×t/(√5).
=√[2t2(8-t)]= √[2(-t3+8t2)].
③现在来求函数f(t)=-t3+8t2,(0<t<8)的最大值。
求导可得f′(t)=-3t 2+16t.=-t(3t-16).
易知,在区间(0,8)上,当0<t<16/3时,有f′(t) >0.
当16/3<t<8时,有f′(t) <0.
∴由“函数单调性与其导数正负的关系”可知,
函数f(t)在t=16/3时取得最大值。∴当t=16/3时,⊿PAB的面积最大。
④当t=16/3时,由S=√[2t 2(8-t)]可得:S=(64√3)/9.
即⊿PAB面积的最大值为(64√3)/9.
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