圆C的半径为3,圆心C在直线2x+y=0上,x轴被圆C截得的弦长为2倍根号5.若斜率为1的直线L被圆C截得弦AB,而以AB为直径的圆过圆点,求直线L的方程?

圆C的半径为3,圆心C在直线2x+y=0上,x轴被圆C截得的弦长为2倍根号5.若斜率为1的直线L被圆C截得弦AB,而以AB为直径的圆过圆点,求直线L的方程?
圆C的半径为3,圆心C在直线2x+y=0上,x轴被圆C截得的弦长为2倍根号5.
若斜率为1的直线L被圆C截得弦AB,而以AB为直径的圆过圆点,求直线L的方程?

圆C的半径为3,圆心C在直线2x+y=0上,x轴被圆C截得的弦长为2倍根号5.若斜率为1的直线L被圆C截得弦AB,而以AB为直径的圆过圆点,求直线L的方程?

设L方程为y=x+b

因为C在2x+y=0上,可设C坐标为（a,-2a）,

则圆C方程为(x-a)²+(y+2a)²=9-----①

①式中,令y=0得,x²-2ax+5a²-9=0------②

∵圆C截x轴弦长为2√5,所以对②式用根与系数的关系得

2√5=√[(2a)²-4(5a²-9)],得：a²=1,a=±1.

---------------------------------------------------

设L方程为: y = x + b,AB中点E为(x1,y1)

代入圆C方程得：(x-a)²+(x+b+2a)²=9

化简得：2x²+(2a+2b)x+5a²-9=0,即x²+(a+b)x-2=0

∴xA+xB = -a-b

∴x1 = (-a-b)/2,y1=x1+b=(-a+b)/2

----------------------------------------------------

设圆E方程为(x-x1)²+(y-y1)²=r²------③

①式-③式,可得圆E与圆C相交弦AB所在直线L的方程,

同时注意圆E过原点,即有x1²+y1²=r²

化简得：(x1-a)x+(y1+2a)y-2=0

将x1、y1代入上式,化简得：(3a+b)x-(3a+b)y+4=0---④

又因为L的方程：y=x+b,即x-y+b=0-----⑤

那么④式和⑤式的系数必须成比例,

故：(3a+b)/1 = 4/b

即：b²+3ab-4=0

-------------------------------------------------

当a = 1时,b²+3b-4=0,解出  b = 1 或 -4

当a = -1时,b²-3b-4=0,解出 b = -1或 4

综上所述,直线L的方程为：

y=x±1或y=x±4

-------------------------------------------------

因为圆心C在直线2x+y=0（即y= -2x）上，所以可设C（m，-2m），从而可写出圆C的方程为：
(x-m)²+(y+2m)²=9
设直线L为：y=x+b，A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点H(xo，yo)，
依题意可知|AB|=2|OH|，下面按这个思路来解题。
将直线L与圆C联立消y得：
2x²+2(b+m)...

全部展开

因为圆心C在直线2x+y=0（即y= -2x）上，所以可设C（m，-2m），从而可写出圆C的方程为：
(x-m)²+(y+2m)²=9
设直线L为：y=x+b，A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点H(xo，yo)，
依题意可知|AB|=2|OH|，下面按这个思路来解题。
将直线L与圆C联立消y得：
2x²+2(b+m)x+m²+(b+2m)²-9=0
由韦达定理得
x1+x2= -m-b
x1*x2=[m²+(b+2m)²-9]/2
所以|AB|²= (x1-x2)²+(y1-y2)²= (x1-x2)²+[(x1+b)- (x2+b)]²=2(x1-x2)²=2[(x1+x2)²-4x1x2]=2{(-m-b)²-4*[m²+(b+2m)²-9]/2}= -2b²-18m²-12mb+36
由中点公式得
xo=(x1+x2)/2= (-m-b)/2，所以yo=xo+b= (-m-b)/2+b= (-m+b)/2
所以|OH|²=xo²+yo²=[(-m-b)/2]²+[ (-m+b)/2]²= (m²+b²)/2
由|AB|=2|OH|得
-2b²-18m²-12mb+36=4*(m²+b²)/2，化简得：
b²+5m²+3mb-9=0 ………………①
因为x轴被圆C截得的弦长为2√5，由勾股定理可求出圆心C到x轴的距离为2，所以|-2m|=2，即
m=±1 ………………②
①②联立解得
m=1、b=1，或
m=1、b= -4，或
m= -1、b= -1，或
m= -1、b=4，
故满足条件的直线L有四条：
y=x+1
y=x-4
y=x-1
y=x+4

收起

是打发发生地方

设L方程为y=x+b
因为C在2x+y=0上，可设C坐标为（a,-2a）,
则圆C方程为(x-a)²+(y+2a)²=9-----①
①式中，令y=0得，x²-2ax+5a²-9=0------②
∵圆C截x轴弦长为2√5，所以对②式用根与系数的关系得
2√5=√[(2a)²-4(5a²-9)]，得...

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设L方程为y=x+b
因为C在2x+y=0上，可设C坐标为（a,-2a）,
则圆C方程为(x-a)²+(y+2a)²=9-----①
①式中，令y=0得，x²-2ax+5a²-9=0------②
∵圆C截x轴弦长为2√5，所以对②式用根与系数的关系得
2√5=√[(2a)²-4(5a²-9)]，得：a²=1，a=±1。
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设L方程为: y = x + b，AB中点E为(x1,y1)
代入圆C方程得：(x-a)²+(x+b+2a)²=9
化简得：2x²+(2a+2b)x+5a²-9=0,即x²+(a+b)x-2=0
∴xA+xB = -a-b
∴x1 = (-a-b)/2，y1=x1+b=(-a+b)/2
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设圆E方程为(x-x1)²+(y-y1)²=r²------③
①式-③式，可得圆E与圆C相交弦AB所在直线L的方程，
同时注意圆E过原点，即有x1²+y1²=r²
化简得：(x1-a)x+(y1+2a)y-2=0
将x1、y1代入上式，化简得：(3a+b)x-(3a+b)y+4=0---④
又因为L的方程：y=x+b，即x-y+b=0-----⑤
那么④式和⑤式的系数必须成比例，
故：(3a+b)/1 = 4/b
即：b²+3ab-4=0
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当a = 1时，b²+3b-4=0,解出 b = 1 或 -4
当a = -1时，b²-3b-4=0,解出 b = -1或 4
综上所述，直线L的方程为：
y=x±1或y=x±4
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回答者： ximig007 - 四级 2010-1-18 14:56
因为圆心C在直线2x+y=0（即y= -2x）上，所以可设C（m，-2m），从而可写出圆C的方程为：
(x-m)²+(y+2m)²=9
设直线L为：y=x+b，A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点H(xo，yo)，
依题意可知|AB|=2|OH|，下面按这个思路来解题。
将直线L与圆C联立消y得：
2x²+2(b+m)x+m²+(b+2m)²-9=0
由韦达定理得
x1+x2= -m-b
x1*x2=[m²+(b+2m)²-9]/2
所以|AB|²= (x1-x2)²+(y1-y2)²= (x1-x2)²+[(x1+b)- (x2+b)]²=2(x1-x2)²=2[(x1+x2)²-4x1x2]=2{(-m-b)²-4*[m²+(b+2m)²-9]/2}= -2b²-18m²-12mb+36
由中点公式得
xo=(x1+x2)/2= (-m-b)/2，所以yo=xo+b= (-m-b)/2+b= (-m+b)/2
所以|OH|²=xo²+yo²=[(-m-b)/2]²+[ (-m+b)/2]²= (m²+b²)/2
由|AB|=2|OH|得
-2b²-18m²-12mb+36=4*(m²+b²)/2，化简得：
b²+5m²+3mb-9=0 ………………①
因为x轴被圆C截得的弦长为2√5，由勾股定理可求出圆心C到x轴的距离为2，所以|-2m|=2，即
m=±1 ………………②
①②联立解得
m=1、b=1，或
m=1、b= -4，或
m= -1、b= -1，或
m= -1、b=4，
故满足条件的直线L有四条：
y=x+1
y=x-4
y=x-1
y=x+4

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