数列﹛an﹜的前n项和为Sn,已知a1=1,an+1=(n+2)/nSn(1)求证:数列{Sn/n}是等比数列(2)求﹛an﹜的通项公式
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 11:10:40
数列﹛an﹜的前n项和为Sn,已知a1=1,an+1=(n+2)/nSn(1)求证:数列{Sn/n}是等比数列(2)求﹛an﹜的通项公式
数列﹛an﹜的前n项和为Sn,已知a1=1,an+1=(n+2)/nSn
(1)求证:数列{Sn/n}是等比数列
(2)求﹛an﹜的通项公式
数列﹛an﹜的前n项和为Sn,已知a1=1,an+1=(n+2)/nSn(1)求证:数列{Sn/n}是等比数列(2)求﹛an﹜的通项公式
(1)下文[ ]表示下角标
∵a[n+1]=(n+2)/nSn
∴Sn=na[n+1]/(n+2)
S[n-1]=(n-1)an/(n+1)
∴an=Sn-S[n-1]=na[n+1]/(n+2)-(n-1)an/(n+1)
即2n×an/(n+1) = na[n+1]/(n+2)
∵n≠0,可同消n.
即2an/(n+1) = a[n+1]/(n+2)
即2S[n-1]/(n-1)=Sn/n (n≥2)
即Sn/n∶S[n-1]/(n-1)=1/2=q
∴数列{Sn/n}是等比数列.Sn/n=S1/1×(1/2)ˆ(n-1) (n≥2)
n=1时.S1/1=a1/1=1 满足Sn/n=S1/1×(1/2)ˆ(n-1)
∴{Sn/n}是为首项为1.公比为1/2的等比数列
(2)由(1)已证得S[n-1]/(n-1) ∶S[n-2]/(n-2)=1/2
即an/(n+1) ∶a[n-1]/n =1/2
即an/a[n-1]=(n+1)/2n
同理a[n-1]/a[n-2]=n/(2(n-1))=1/2×n/(n-1)
a[n-2]/a[n-3]=(n-1)/(2(n-2))=1/2×(n-1)/(n-2)
a[n-3]/a[n-4]=(n-2)/(2(n-3))=1/2×(n-2)/(n-3)
a[n-4]/a[n-3]=(n-3)/(2(n-4))=1/2×(n-3)/(n-4)
.
a₃/a₂=4/6=1/2×4/3
a₂/a₁=3/4
上述式子左右叠乘得
an/a₁=an=n×(1/2)ˆ(n-1)