如果函数f(x)=2(m+1)x²+4mx+2m-1在(0,+∞)上至少有一个零点,求m的取值范围.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/29 05:20:03
如果函数f(x)=2(m+1)x²+4mx+2m-1在(0,+∞)上至少有一个零点,求m的取值范围.
如果函数f(x)=2(m+1)x²+4mx+2m-1在(0,+∞)上至少有一个零点,求m的取值范围.
如果函数f(x)=2(m+1)x²+4mx+2m-1在(0,+∞)上至少有一个零点,求m的取值范围.
分类讨论：
(1)当m+1=0,即m=-1时,f(x)=-4x-3,在(0,+∞)上无零点,舍去
(2)当m+1≠0时,f(x)是二次函数,
f(x)=2(m+1)x²+4mx+2m-1
首先要求f(x)=0有实数根,
△=16m²-8(m+1)(2m-1)≥0
2m²-(2m²+m-1)≥0
1-m≥0
∴m≤1且m≠-1
进一步分类：
1)两根有一根为0时,2m-1=0,m=1/2,f(x)=3x²+2x,另一根小于0,不符合题意,舍去
2)两根都为正时,根据韦达定理,得
-4m/[2(m+1)]＞0,得-1＜m＜0
(2m-1)/[2(m+1)]＞0,得m＞1/2或m＜-1
此时无解,舍去
3)两根中,一根为正,一根为负,则根据韦达定理,得
(2m-1)/[2(m+1)]＜0
∴-1＜m＜1/2
综上所述,m的取值范围是:(-1,1/2)
分两种情况：
(1)为一次函数时:
即二次项系数为0,2(m+1)＝0,m=-1
f(x)＝-4x-3，为直线方程
令y=0,x=-3，不属于(0,+∞)，舍弃！
(2)为二次函数，
二次项系数不为0,即m≠-1时
也分2种情况考虑：
a.开口向上
即m>-1，
令f(0)<0，则函数必在(0,+∞)上与x轴相交
全部展开
分两种情况：
(1)为一次函数时:
即二次项系数为0,2(m+1)＝0,m=-1
f(x)＝-4x-3，为直线方程
令y=0,x=-3，不属于(0,+∞)，舍弃！
(2)为二次函数，
二次项系数不为0,即m≠-1时
也分2种情况考虑：
a.开口向上
即m>-1，
令f(0)<0，则函数必在(0,+∞)上与x轴相交
f(0)＝2m-1<0,m<0.5
∴-1
m<-1,
令f(0)>0，则函数必在(0,+∞)上与x轴相交
f(0)=2m-1>0,m>0.5
矛盾。
综上：m∈(-1,0.5)
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判别式>=0 (4m)^2-4*2(m+1)*(2m-1)>= 1-m>=0 m<=1
亦即，方程2(m+1)x²+4mx+2m-1=0至少有一个正实数根。
m=-1时：方程只有一个解，x=-3/4,不符题目，排除；
m≠-1时：因为方程至少有一个正实数根，
所以 (4m)^2-4*2(m+1)(2m-1)>=0
8(1-m)>=0
m<=1(且m≠-1）
m=1时，方程只有一个实数根：-1/2，不符合题目要求，排除；
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亦即，方程2(m+1)x²+4mx+2m-1=0至少有一个正实数根。
m=-1时：方程只有一个解，x=-3/4,不符题目，排除；
m≠-1时：因为方程至少有一个正实数根，
所以 (4m)^2-4*2(m+1)(2m-1)>=0
8(1-m)>=0
m<=1(且m≠-1）
m=1时，方程只有一个实数根：-1/2，不符合题目要求，排除；
m<1且m≠-1时，方程有两个实数根，那么根据题目要求，可以为两个正实数根，也可以为一正一负,或一正一零
根据韦达定理：若为两个正根：
-4m/(2m+2)>0,（2m-1)/(2m+2)>0
解得：0
（2m-1)/(2m+2)<0
解得：-1
2m-1=0,m=1/2,此时另一个根为-2/3，排除；
因为：m<1且m≠-1
所以，最终m的范围就是：(-1,1/2)
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