如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,底面ABCD是平行四边形,AB=3,AD=3根号2,点E是PB的中点且PB⊥面ACE求证：CD⊥AC求PB与面PCD所成角的大小
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 08:21:59
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,底面ABCD是平行四边形,AB=3,AD=3根号2,点E是PB的中点且PB⊥面ACE求证：CD⊥AC求PB与面PCD所成角的大小
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,底面ABCD是平行四边形,AB=3,AD=3根号2,点E是PB的中点且PB⊥面ACE
求证：CD⊥AC
求PB与面PCD所成角的大小
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,底面ABCD是平行四边形,AB=3,AD=3根号2,点E是PB的中点且PB⊥面ACE求证：CD⊥AC求PB与面PCD所成角的大小
1、∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥AC,
又PB⊥面ACE,∴PB⊥AC
∴AC⊥面PAB,∴AC⊥AB
∵AB∥CD,∴AC⊥CD
2、过B点作BG⊥面PCD,垂足为G,即三棱锥B-PCD的高为BG,
由于PB⊥面ACE,所以PB⊥AE
又E是PB的中点,所以AP=AB=3,
BC=3√2,所以∠BAC=90,∠ABC=∠ACB=45
由三棱锥P-BCD体积=三棱锥B-PCD体积
（1/3）*BG*S△PCD=（1/3）*PA*S△BCD
S△PCD=（1/2）*PC*CD=（1/2）*3*3√2=9√2/2
S△BCD==（1/2）*BC*CD*sin∠BCD=（1/2）*3√2*3（√2/2）=9/2
（注意∠BCD=90+45=135）
所以有：9√2/2*BG=9/2*3,BG=3/√2
所以PB与平面PCD所成角的正弦
sin∠BPG=BG/PB=（3/√2）/3√2=1/2
∠BPG=30,PB与平面PCD所成角30度
二面角P-BD-C是二面角P-BD-A的补角。PB=√(PA^2+AB^2)=2√7，PD=√(PA^2+AD^2)=2√5，BD=√(AD^2+AB^2)=4。这是个锐角三角形，所以过P作BD的垂线垂足在BD上，作PE⊥BD交BD于E。设BE=x，则DE=4-x。由PB^2-BE^2=PD^2-DE^2得：(2√7)^2-x^2=(2√5)^2-(4-x)^2，解得x=3。故PE=√[(2√7)...
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二面角P-BD-C是二面角P-BD-A的补角。PB=√(PA^2+AB^2)=2√7，PD=√(PA^2+AD^2)=2√5，BD=√(AD^2+AB^2)=4。这是个锐角三角形，所以过P作BD的垂线垂足在BD上，作PE⊥BD交BD于E。设BE=x，则DE=4-x。由PB^2-BE^2=PD^2-DE^2得：(2√7)^2-x^2=(2√5)^2-(4-x)^2，解得x=3。故PE=√[(2√7)^2-3^2]=√19。
连接EA。则sin∠PEA=PA/PE=4/√19=4√19/19，∠PEA=arcsin4√19/19，所以二面角P-BD-C为π-arcsin4√19/19。
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