帮忙做下这两道复变函数题
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 17:05:26
帮忙做下这两道复变函数题帮忙做下这两道复变函数题帮忙做下这两道复变函数题证明u(x,y)为调和函数即证明u满足（a）u存在连续的二阶偏导数（b）拉普拉斯方程即u"xx(x,y)+u"yy(x,y)=0
帮忙做下这两道复变函数题
帮忙做下这两道复变函数题
帮忙做下这两道复变函数题
证明u(x,y)为调和函数即证明u满足
（a）u存在连续的二阶偏导数
（b）拉普拉斯方程 即u"xx(x,y)+u"yy(x,y)=0
证明：
因为 u"xx(x,y)=2
u"yy(x,y)=-2
u"xx(x,y)+u"yy(x,y)=0
所以 u(x,y)为调和函数
因为u(x,y)为调和函数,所以z(x,y)满足柯西-黎曼条件 即R-C条件
u'x=v'y 则u'x=v'y=2x+y
v'x=-u'y -u'y=v'x=2y-x
dv=v'xdx+v'ydy=-u'ydx+u'xdy=(2y-x)dx+(2x+y)dy
对两边积分
可以使用不定积分法
v=∫(2y-x)dx+φ(y)=2xy-x^2/2+φ(y)+C
v'y=2x+φ'(y)=2x+y 则φ’(y)=y φ(y)=y^2/2
v=2xy-x^2/2+y^2/2
由于f(0)=0 所以常数C=0
则u(x,y)=x^2-y^2+xy+i(2xy-x^2/2+y^2/2)