已知实数a>b>c,a+b+c=1,a²+b²+c²=1求a+b与a²+b²的范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 05:11:27
已知实数a>b>c,a+b+c=1,a²+b²+c²=1求a+b与a²+b²的范围
已知实数a>b>c,a+b+c=1,a²+b²+c²=1求a+b与a²+b²的范围
已知实数a>b>c,a+b+c=1,a²+b²+c²=1求a+b与a²+b²的范围
已知可得a+b=1-c,所以(a+b)²=(1-c)²,即a² + 2ab +b²=(1-c)²,（1）\r\n 又a²+b²+c²=1,即a²+b²=1-c² (2)\r\n 由(1)、（2）两式,联立可得ab=[(1-c)²-(a²+b²)]\/2=[(1-c)²-(1-c²)]\/2=c²-c \r\n 即 a+b=c²-c （3）\r\n 又a+b=1-c （4）\r\n 若把a、b看作是关于一个x的一元二次方程的两不等实根,即由（3）、（4）可得\r\n f(x)=(x-a)(x-b)=x²-(a+b)x+ab=x²-(1-c)x+(c²-c)=0\r\n 即a、b是关于x的一元二次方程：x²-(1-c)x+(c²-c)=0的两不等实根,\r\n 则有：⊿=[-(1-c)]²-4(c²-c)>0；有两不等实根,\r\n x=(1-c)\/2>c 对称轴位于两根之间,x=(1-c)\/2>b>c\r\n f(c)>0； 因为f(x)在,x∈(-∞,(1-c)\/2)上单调递减,c<b,f(c)>f(b)=0\r\n由已上三式联立求解,则可得证：（-1\/3）<c<0 \r\n\r\n【另法】\r\na,b是方程x^2+(c-1)x+c^2-c=0的两不等实数根.\r\n故其判别式大于零,即(c-1)^2-4(c^2-c)>0,解之得-1\/3<c<1.\r\n由a+b+c=1得(a+b+c)^2=1,\r\n即a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=1,故ab+ac+bc=0.\r\n若c>0,则a>b>c>0,那么ab+ac+bc>0与之矛盾,故c<0.\r\n综上所述,-1\/3<c<0.