定义在正整数上的函数f(x)对任意m,n∈N*,都有f（m+n）=f（m）+f（n）+4（m+n）－2,且f（1）=1.1、求f（x）的表达式2、若m²-tm－1≤f（x）对于任意的m∈[-1,1],x∈N*恒成立,求实数t的取值范围

定义在正整数上的函数f(x)对任意m,n∈N*,都有f（m+n）=f（m）+f（n）+4（m+n）－2,且f（1）=1.1、求f（x）的表达式2、若m²-tm－1≤f（x）对于任意的m∈[-1,1],x∈N*恒成立,求实数t的取值范围
定义在正整数上的函数f(x)对任意m,n∈N*,都有f（m+n）=f（m）+f（n）+4（m+n）－2,且f（1）=1.
1、求f（x）的表达式
2、若m²-tm－1≤f（x）对于任意的m∈[-1,1],x∈N*恒成立,求实数t的取值范围

定义在正整数上的函数f(x)对任意m,n∈N*,都有f（m+n）=f（m）+f（n）+4（m+n）－2,且f（1）=1.1、求f（x）的表达式2、若m²-tm－1≤f（x）对于任意的m∈[-1,1],x∈N*恒成立,求实数t的取值范围
定义在正整数集上的函数f(x)对任意m,n∈N*,都有f(m+n)=f(m)+f(n)+4(m+n)-2,且f(1)=1
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若m^2-tm-1≤f（x）对于任意的m属于[-1,1],x属于N*恒成立,求实数t的取值范围；
（1）令m=x,n=1,得到f(x+1)=f(x)+4x+3；所以：
f(2)=f(1)+4*1+3
f(3)=f(2)+4*2+3
f(4)=f(3)+4*3+3
.
f(x)=f(x-1)+4*(x-1)+3
累加得,f(x）=f(1)+4*（1+2+3+...+(x-1))+3*(x-1)
=2x²+x-2
（2）由(1)显然知,f(x)最小值为1,所以m²-tm-1≤1对任意m∈[-1,1]恒成立
当m=0时,对t∈R不等式均成立；
当m＜0时,原式等价于t≤m-2/m在m∈[-1,0)恒成立,而函数m-2/m的最小值为1(函数为单增函数),所以t≤1；
当m＞0时,原式等价于t≥m-2/m在m∈(0,1]恒成立,而函数m-2/m的最大值为-1(函数为单增函数),所以t≥-1
综上可得,-1≤m＜0时,t≤1
m=0时,t∈R
0＜m≤1时,t≥-1

,(1)由f(m+n)=f(m)+f(n)+4(m+n)-2
则f(n)
=f(n-1+1)
=f(n-1)+f(1)+4n-2
=f(n-1)+4n-1
=f(n-2)+4(n-1)-1+4n-1
=f(1)+4*1+4*2+……+4(n-1)+4n-(n-1)
=1+4n(n-1)/2-n+12n^2-3n+2
=2n^2-3n+...

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,(1)由f(m+n)=f(m)+f(n)+4(m+n)-2
则f(n)
=f(n-1+1)
=f(n-1)+f(1)+4n-2
=f(n-1)+4n-1
=f(n-2)+4(n-1)-1+4n-1
=f(1)+4*1+4*2+……+4(n-1)+4n-(n-1)
=1+4n(n-1)/2-n+12n^2-3n+2
=2n^2-3n+2
则f(x)=2x^2-3x+2,(x∈N+)
(2)令g(m)=m^2-tm-1,则只需g(m)max<=f(x)min，
即可满足m^2-tm-1≤f（x）。
则f(x)的对称轴为x=3/4,则f(x)在x∈N+为增函数，
则f(x)min=f(1)=1
而g(m)的对称轴m=t/2,
当t<=-2时，t/2<=-1,g(m)为增函数，则g(m)max=g(1)=-tt>-1,无解
当t>=2时，t/2>=1,g(m)为减函数，则g(m)max=g(-1)=tt<1,无解
当0<=t<2时,g(m)max=g(-1)=t当0>=t>-2时,g(m)max=g(1)=-t-1,则-1所以-1

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楼主您好！

1. 由f（m+n）=f（m）+f（n）+4（m+n）－2  ，又f(1)=1,将n=1代入其中，

得f(m+1)=f(m)+1+4(m+1)-2  也就是f(x+1)=f(x)+4x+3

f(x)=f(x-1)+4(x-1)+3

f(x-1)=f(x-2)+4(x-2)+3

.........

f(2)=f(1)+4+3

左右两端分别相加  得f(x)=f(1)+4(1+x-1)(x-1)/2+3(x-1)

化简得 f(x)=2x平方+x-2

2.m²-tm－1≤f（x）对于任意的m∈[-1,1],x∈N*恒成立

而 f(x)=2x平方+x-2 在],x∈N*  最小值为1,(当 x=1时取)

则m²-tm－1≤1  即m²-tm－2≤0  对于任意的m∈[-1,1]恒成立

另g(x)=m²-tm－2  有 g(-1)≤0 以及 g（1）≤0  可得t范围是[-1,1]

希望楼主满意我的回答  哈哈哈可追问求最佳呀  真的很辛苦。。。。这么多字儿。。。。

1. ∵f（m+n）=f（m）+f（n）+4（m+n）－2；f（1）=1
   

∴f（x+1）=f(x)+f(1)+4(x+1)-2

f(x+1)-f(x)=4(x+1)-1

运用叠加法（x∈N*）

f（x）-f（x-1）=4x-1

f(x-1)-f(x-2)=4(x-1)-1

.

全部展开

1. ∵f（m+n）=f（m）+f（n）+4（m+n）－2；f（1）=1
   

∴f（x+1）=f(x)+f(1)+4(x+1)-2

f(x+1)-f(x)=4(x+1)-1

运用叠加法（x∈N*）

f（x）-f（x-1）=4x-1

f(x-1)-f(x-2)=4(x-1)-1

.

.

.

f(3)-f(2)=11

f(2)-f(1)=7

+)-------------

f(x)-f(1)=(7+4x-1)*(x-1)*1/2=2x^2+x-3(等差数列求和)

∴f(x)=2x^2+x-2

2.m²-tm－1≤f（x）

m²-tm－1≤2x^2+x-3

分析得，当m∈[-1,1]时，m²-tm－1≤f（x）min时，恒成立

又x∈N*

m²-tm－1≤1

m²-tm－2≤0

然后根据对称轴分类讨论就可以得出答案

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