在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D、E为B、C上两点,且∠DAE=45°,求证BD²+EC²=DE².
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 16:44:48
在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D、E为B、C上两点,且∠DAE=45°,求证BD²+EC²=DE².
在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D、E为B、C上两点,且∠DAE=45°,求证BD²+EC²=DE².
在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D、E为B、C上两点,且∠DAE=45°,求证BD²+EC²=DE².
这题可用解析几何很好地解决,纯粹几何可以这样
做辅助线（如图）：作AF=AC,且∠FAE=∠EAC；连接DF
由于AF=AC,∠FAE=∠EAC,AE为公共边,故三角形AEF和三角形AEC全等,所以EF=EC；
由于AB=AC,则AB=AF,又∠BAD+∠EAC=45°,∠DAF+∠FAE=45°；所以∠BAD=∠DAF,进而三角形BAD与三角形DAF全等,则有BD=DF
下面只需证三角形DEF是直角三角形即可.
显然,由全等关系可知∠B+∠C=∠DFA+∠EFA=90°
因此：勾股定理：DF?+EF?=DE?,即BD?+EC?=DE?
旋转。把三角形BAD旋转90度后AB，AC重合即可。
证明：把△CFB绕点C顺时针旋转90°，BC与AC重合（BC=AC），点F到点F'的位置，连接EF'，那么AF'=BF。①
∵ ∠ACB=90°，BC=AC
∴∠B=∠CAB=45°
∴∠EAF'=90°
∴AF’^2+AE^2=EF'^2 ②
∵∠ECF=45°
∴∠ECF’=∠FCF'-∠ECF=90°-45°=45°
∴∠ECF=∠E...
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证明：把△CFB绕点C顺时针旋转90°，BC与AC重合（BC=AC），点F到点F'的位置，连接EF'，那么AF'=BF。①
∵ ∠ACB=90°，BC=AC
∴∠B=∠CAB=45°
∴∠EAF'=90°
∴AF’^2+AE^2=EF'^2 ②
∵∠ECF=45°
∴∠ECF’=∠FCF'-∠ECF=90°-45°=45°
∴∠ECF=∠ECF’
又∵CE=CE、CF=CF'
∴△CEF≌△CEF’
∴EF=EF’③
∴由①②③得BD²+AE²=EF²
收起
记得把第一条答案选为最佳答案
这道题我提问过
证明：把△CFB绕点C顺时针旋转90°，BC与AC重合（BC=AC），点F到点F'的位置，连接EF'，那么AF'=BF。①
∵ ∠ACB=90°，BC=AC
∴∠B=∠CAB=45°
∴∠EAF'=90°
∴AF’^2+AE^2=EF'^2 ②
∵∠ECF=45°
∴∠ECF’=∠FCF'-∠ECF=90°-45°=45°<...
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这道题我提问过
证明：把△CFB绕点C顺时针旋转90°，BC与AC重合（BC=AC），点F到点F'的位置，连接EF'，那么AF'=BF。①
∵ ∠ACB=90°，BC=AC
∴∠B=∠CAB=45°
∴∠EAF'=90°
∴AF’^2+AE^2=EF'^2 ②
∵∠ECF=45°
∴∠ECF’=∠FCF'-∠ECF=90°-45°=45°
∴∠ECF=∠ECF’
又∵CE=CE、CF=CF'
∴△CEF≌△CEF’
∴EF=EF’③
∴由①②③得BD²+AE²=EF²
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